EQUAZIONI E DISEQUAZIONI
Equazioni
Si definisce equazione una relazione matematica tra quantità note, dette coefficienti e quantità non note dette incognite. Il grado dell'equazione é dato dalla potenza massima con cui le incognite compaiono nella relazione. Un esempio di equazione di primo grado nell'incognita
è
I coefficienti 
e 
possono essere - numeri reali;
- parametri: quantità che si suppongono note e variabili entro determinati intervalli.
Risolvere un'equazione significa trovare quei valori dell'incognita che soddisfano la relazione data.
Si procede in modo molto semplice:
- si isolano tutti i termini che contengono l'incognita da quelli che non la contengono;
- si pongono a sinistra e a destra del segno di uguaglianza e si risolve.
Esempio Diamo un esempio di risoluzione passo-passo per un'equazione di primo grado.
Un'equazione algebrica di secondo grado (cioè un'equazione in cui l'incognita compare con una potenza massima quadratica), nell'incognita
, quando è ridotta a forma normale è del tipo:
dove 
, 
, 
sono dei coefficienti reali noti e, in particolare, il terzo di essi è appunto detto termine noto. Un'equazione di secondo grado, ridotta a forma normale, si dice:
- completa, quando tutti i suoi coefficienti sono diversi da zero;
- incompleta, quando almeno uno dei tre coefficienti
e
è uguale a zero (in particolare, se solo
l'equazione si dice spuria; se
, si dice pura).
La quantità sotto radice quadrata e cioè 
permette di stabilire se le radici di una equazione di secondo grado appartengano al campo dei numeri reali e per questa ragione viene anche denominata discriminante e indicata col simbolo 
. Vi sono tre possibilità:
- se
si hanno
radici reali e distinte
- se
si hanno
radici reali e coincidenti
- se
si hanno
radici complesse coniugate
Disequazioni
Se 
e 
sono due polinomi nella variabile reale 
, il problema di sapere se esistono dei valori della 
per i quali il valore di 
risulta minore o maggiore del valore di 
, si chiama disequazione razionale intera dell'incognita 
, e si scrive:
Ogni numero reale che risponde positivamente a tale problema si chiama soluzione della disequazione e l'insieme di tutte le soluzioni viene indicato con 
. Risolvere una disequazione vuol dire trovare, qualora esista, l'insieme 
di valori che sostituiti ad 
nella disequazione verificano il verso della disuguaglianza. I valori 
si dicono soluzioni della disequazione. Le disequazioni si distinguono in:
- Possibili: se ammettono soluzioni,
- determinate se ammettono un numero finito di soluzioni;
- indeterminate se ammettono un numero non finito di soluzioni.
- determinate se ammettono un numero finito di soluzioni;
- Impossibili: se non ammettono soluzioni,
che ha come soluzioni 
si dice identicamente verificata. Una disequazione di secondo grado espressa in forma standard
ha soluzioni che dipendono
- dal segno di
detto coefficiente dominante;
- dal discriminante
dell'equazione associata
.
Quando
Quando
Se, invece, si considera 
risultano determinate le seguenti soluzioni:
- quando
- quando
ha soluzioni che dipendono dal segno delle espressioni al numeratore e denominatore.
Una frazione è infatti positiva quando i segni del numeratore e denominatore sono concordi, perciò in questo caso le soluzioni sono l'unione delle soluzioni dei due sistemi di disequazioni seguenti:
Esercizio Risolvere la seguente disequazione:
Da:
si aggiungono o si sottraggono elementi da entrambe le espressioni, ottenendo: 
da cui, sommando i termini simili si ha: 
ed infine dividendo per 
(numero positivo), si ha
Concludendo, si ha che la disequazione 
viene soddisfatta per ogni 
Esercizio Risolvere la seguente disequazione:
allora le soluzioni appartengono al seguente intervallo:
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