Esercizio
Risolvere il seguente sistema 
Soluzione
La matrice completa del sistema è 
Applichiamo il metodo di eliminazione di Gauss, riducendo dapprima a scalini la matrice 
. Il pivot della prima riga non si trova nella posizione 
pertanto in questo caso andiamo a cercare nella prima colonna un eventuale elemento non nullo, che troviamo nella posizione 
. Allora effettuiamo lo scambio della prima con la seconda riga in modo da avere un elemento non nullo nella posizione 
A questo punto vogliamo azzerare nella prima colonna tutti gli elementi sotto il pivot della prima riga e a tal fine effettuiamo l'operazione 
sulla precedente matrice, ottenendo 
Cerchiamo ora il pivot della seconda riga. Osserviamo che non è nella posizione 
, allora cerchiamo nella seconda colonna scorrendola verso il basso, ma trociamo che non ci sono elementi non nulli. A questo punto, torniamo sulla seconda riga e ci spostiamo di colonna, cioè andiamo a controllare l'elemento di posto 
che troviamo essere non nullo e vale 
, che diventa il pivot rispetto a cui operiamo nel seguito. Andiamo ad azzerare l'elemento in terza riga che si trova sotto il pivot come segue: 
, ottenendo 
Il sistema risulta compatibile di rango 
, quindi ammette 
soluzioni. Scegliamo come parametri di descrizione delle soluzioni le variabili corrispondenti alle colonne non contenenti i pivot. Il sistema ridotto che si ottiene è:
L'ultima equazione dà immediatamente il valore di 
, che sostituito nella seconda equazione, dà:
Sostituendo sia 
sia 
nella prima equazione si ha:
Concludendo il sistema ha 
soluzioni descritte dall'insieme seguente:
Applichiamo il metodo di eliminazione di Gauss, riducendo dapprima a scalini la matrice . Il pivot della prima riga non si trova nella posizione pertanto in questo caso andiamo a cercare nella prima colonna un eventuale elemento non nullo, che troviamo nella posizione . Allora effettuiamo lo scambio della prima con la seconda riga in modo da avere un elemento non nullo nella posizione A questo punto vogliamo azzerare nella prima colonna tutti gli elementi sotto il pivot della prima riga e a tal fine effettuiamo l'operazione sulla precedente matrice, ottenendo Cerchiamo ora il pivot della seconda riga. Osserviamo che non è nella posizione , allora cerchiamo nella seconda colonna scorrendola verso il basso, ma trociamo che non ci sono elementi non nulli. A questo punto, torniamo sulla seconda riga e ci spostiamo di colonna, cioè andiamo a controllare l'elemento di posto che troviamo essere non nullo e vale , che diventa il pivot rispetto a cui operiamo nel seguito. Andiamo ad azzerare l'elemento in terza riga che si trova sotto il pivot come segue: , ottenendo Il sistema risulta compatibile di rango , quindi ammette soluzioni. Scegliamo come parametri di descrizione delle soluzioni le variabili corrispondenti alle colonne non contenenti i pivot. Il sistema ridotto che si ottiene è:L'ultima equazione dà immediatamente il valore di , che sostituito nella seconda equazione, dà:Sostituendo sia sia nella prima equazione si ha:Concludendo il sistema ha soluzioni descritte dall'insieme seguente: 
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