Esercizio
Risolvere il seguente sistema 
Soluzione
La matrice completa del sistema è 
Applichiamo il metodo di eliminazione di Gauss, riducendo dapprima a scalini la matrice 
. Il pivot della prima riga si trova nella posizione 
e vale 
. Vogliamo azzerare quindi nella prima colonna tutti gli elementi sotto il pivot. Per far questo, effettuiamo le seguenti operazioni sulla seconda e terza riga di 
:
Volendo eliminare le frazioni, andiamo ad effettuare le ulteriori operazioni: 
Osserviamo che allo stesso risultato potevamo giungere effettuando direttamente su 
le operazioni 
, ovvero eliminando le frazioni direttamente nelle regole di trasformazione sulle righe.
Applichiamo il metodo di eliminazione di Gauss, riducendo dapprima a scalini la matrice . Il pivot della prima riga si trova nella posizione e vale . Vogliamo azzerare quindi nella prima colonna tutti gli elementi sotto il pivot. Per far questo, effettuiamo le seguenti operazioni sulla seconda e terza riga di : Volendo eliminare le frazioni, andiamo ad effettuare le ulteriori operazioni: Osserviamo che allo stesso risultato potevamo giungere effettuando direttamente su le operazioni , ovvero eliminando le frazioni direttamente nelle regole di trasformazione sulle righe. A questo punto passiamo a considerare il pivot della seconda riga, che si trova nella posizione 
e vale 
. Vogliamo azzerare l'elemento in terza riga che si trova sotto il pivot. Operiamo quindi sulla terza riga come segue: 
, ottenendo 
e vale . Vogliamo azzerare l'elemento in terza riga che si trova sotto il pivot. Operiamo quindi sulla terza riga come segue: , ottenendo La matrice ottenuta è in forma a scalini. Se chiamiamo 
la matrice costituita dalle prime quattro colonne di 
, corrispondente alla forma a scalini della matrice dei coefficienti del sistema di partenza, e ricordando che in una matrice a scalini il rango è il numero delle sue righe non nulle, abbiamo che 
pari esattamente al numero parametri del sistema, quindi il sistema dato è compatibile, con un'unica soluzione, ed equivalente a 
Sstituendo a ritroso a partire dall'ultima equazione, abbiamo immediatamente 
, che sostituto nella seconda equazione dà 
da 
, e infine sostituendo i valori di 
e 
nella prima equaione si ha 
ovvero 
. In definitiva l'unica soluzione del sistema è:
la matrice costituita dalle prime quattro colonne di , corrispondente alla forma a scalini della matrice dei coefficienti del sistema di partenza, e ricordando che in una matrice a scalini il rango è il numero delle sue righe non nulle, abbiamo che pari esattamente al numero parametri del sistema, quindi il sistema dato è compatibile, con un'unica soluzione, ed equivalente a Sstituendo a ritroso a partire dall'ultima equazione, abbiamo immediatamente , che sostituto nella seconda equazione dà da , e infine sostituendo i valori di e nella prima equaione si ha ovvero . In definitiva l'unica soluzione del sistema è: 
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