Esercizio
Si consideri la matrice
Dire se è diagonalizzabile e/o ortogonalmente diagonalizzabile e, in caso affermativo, calcolare la matrice
di diagonalizzazione.Soluzione
Calcoliamo gli autovalori di
: 
Cerchiamo le radici tra i divisori del termine noto. Abbiamo:
Applicando la regola di Ruffini abbiamo:
le cui radici sono
e 
con 
e 
. Dato che la somma delle molteplicità algebriche è 3, per la diagonalizzazione basta controllare che tutti gli autovalori abbiano moltelicità geometrica uguale a quella algebrica. Per
risulta 
quindi
. Per
risulta 
quindi
. In virtù del teorema di caratterizzazione della diagonalizzazione, possiamo concludere che
è diagonalizzabile. Andiamo ora a calcolare gli autospazi.
L'autospazio
è rappresentato da 
che equivale a
le cui soluzioni sono date da
. Una base di 
si ottiene dando a 
e 
alternativamente i valori 
e 
, avendo così 
Per
, l'autospazio è rapresentato dal sistema 
le cui soluzioni sono date da
cioé
e una sua base è 
. La matrice
di diagonalizzazione è la matrice che ha per colonne i vettori delle basi trovate: 
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