ESE_OM-Autospazio_2

Esercizio
Sia l'endomorfismo di tale che

Calcolare gli autospazi associati a e una relativa base.



Soluzione
Gli autospazi possono essere calcolati determinando lo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo che ha come matrice dei coefficienti la matrice , risolvendolo una volta per e poi per avendo denotato con la matrice identità.
Per l'autospazio relativo all'autovalore si risolve quindi il sistema omogeneo

svolgendo i calcoli

che è equivalente alla sola equazione

si hanno pertanto due parametri liberi, uno è costituito dalla z e l'altro dalla y . In definitiva l'autospazio V relativo all'autovalore 2 può essere individuato dal seguente insieme:

che essendo determinato da due parametri ha quindi dimensione 2, in tal modo si è verificato che la molteplicità algebrica e quella geometrica dell'autovalore 2 coincidono.




A questo punto si può gia concludere che l'endomorfismo è diagonalizzabile perchè l'altro autospazio ha intersezione nulla con ma deve avere almeno dimensione 1; inoltre poichè stiamo considerando dei sottospazi di dello spazio R allora si può concludere facilmente che la dimensione di è proprio 1. Questo garantisce allora che la molteplicità geometrica ed algebrica degli autovalori coincide e quindi l'endomorfismo si può ritenere diagonalizzabile. L'endomorfismo non è però ortogonalmente diagonalizzabile perchè la matrice rappresentativa rispetto alla base ortogonale canonica non è simmetrica e quindi per il teorema spettrale non è ortogonalmente diagonalizzabile.




Se invece si vuole calcolare esplicitamente l'autospazio relativo all'autovalore 6 si deve risolvere il seguente sistema omogeneo

svolgendo i calcoli

riducendo a scalini la matrice dei coefficienti di tale sistema omogeneo si ha


da cui il sistema si riduce alla seguente forma

si ha pertanto un solo parametro libero rappresentato dalla z, e quindi l'autospazio V relativo all'autovalore 6 può essere individuato dal seguente insieme:

che essendo determinato da un solo parametro ha dimensione 1, anche in tal caso si è ulteriormente verificato che la molteplicità algebrica e quella geometrica dell'autovalore 6 coincidono.