ESE_OM-Autospazio_1

Esercizio
Sia RR l'omomorfismo tale che

Calcolare gli autospazi associati a .



Soluzione
Per calcolare gli autospazi dell'endomorfismo bisogna calcolare dapprima gli autovalori di tale applicazione risolvendo l'equazione caratteristica, che si ottiene dalla seguente relazione:

calcolando il determinante rispetto alla seconda riga si ha l'equazione

che può essere ridotta nel modo seguente


e produce le seguenti soluzioni

che rappresentano gli autovalori dell'endomorfismo.
Quindi vi sono solo due autovalori: con molteplicità algebrica 2, essendo soluzione doppia dell'equazione caratteristica, e con molteplicità 1.




Gli autospazi relativi a tali valori possono essere calcolati determinando lo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo che ha come matrice dei coefficienti la matrice , risolvendolo una volta per e poi per avendo denotato con la matrice identità.
Per l'autospazio relativo all'autovalore si risolve quindi il sistema omogeneo

svolgendo i calcoli

si riduce quindi alla sola equazione

si hanno pertanto due parametri liberi, uno è costituito dalla z che compare esplicitamente nella equazione precedente, l'altro è invece la y che può variare liberamente senza osservare alcuna condizione. In definitiva l'autospazio V relativo all'autovalore 1 può essere individuato dal seguente insieme:

che essendo determinato da due parametri ha quindi dimensione 2, in tal modo si è anche ulteriormente verificato che la molteplicità algebrica e quella geometrica dell'autovalore 1 coincidono.




Analogamente per l'autospazio relativo all'autovalore si risolve quindi il sistema omogeneo

svolgendo i calcoli

poichè la prima e la quarta equazione sono linearmente dipendenti il sistema si riduce alla seguente forma

si hanno pertanto un solo parametri libero rappresentato dalla z, e quindi l'autospazio V relativo all'autovalore 4 può essere individuato dal seguente insieme:

che essendo determinato da un solo parametro ha dimensione 1, anche in tal caso si è ulteriormente verificato che la molteplicità algebrica e quella geometrica dell'autovalore 4 coincidono.