Spazzi Vettoriali-LemmaSteinitz

Lemma 4.5.1

(Steinitz) Sia una base di uno spazio vettoriale Allora ogni insieme di contenente più di vettori è linearmente dipendente.

Dim.

Sia un sistema di vettori di con Si vuole dimostrare che è costituito da vettori lineramente dipendenti e quindi che esistono non tutti nulli tali che:

(4.1)

  Poichè è una base di e allora è generato da per cui

(4.2)

 Sostituendo le espressioni (4.2) in (4.1)si ottiene:
 Mettendo in evidenza si ha Per la lineare indipendenza dei vettori si ha

(4.3)

Il sistema (4.3), che ha per incognite , è un sistema omogeneo di equazioni in incognite con
.

Osservando che il rango della matrice , , è tale che , si ha che tale sistema ammette infinite soluzioni e quindi esiste almeno una
n-pla che soddisfa la relazione da cui risulta linearmente dipendente.