Spazzi Vettoriali-Teorema Base

Teorema 4.6.1

(della Base) Sia uno spazio vettoriale finitamente generato. Allora tutte le basi di hanno lo stesso numero di vettori.

Dim.

Siano e due basi di uno stesso spazio vettoriale Vogliamo dimostrare che

Consideriamo come base di e come insieme di vettori linearmente indipendenti. Allora, per il lemma di Steinitz, è

Viceversa, consideriamo come base di e come insieme di vettori linearmente indipendenti. Allora, per il lemma di Steinitz, è Quindi .

Possiamo ora dare la seguente definizione.

Definizione 4.6.2

Si dice dimensione di il numero di elementi di una qualsiasi sua base.