Sistemi di equazioni lineari omogenei

Definizione 3.5.1 (Sistemi di equazioni lineari omogenei)

Un sistema di equazioni lineari si dice omogeneo se la colonna dei termini noti è il vettore nullo, i.e. .

Esempio 3.5.2

Il sistema è un sistema lineare omogeneo di due equazioni in tre incognite.

E' facile convincersi che un sistema lineare omogeneo di equazioni in incognite ammette sempre almeno la soluzione banale, cioè la -upla tutta nulla.

Osservazione 3.5.3 (Soluzioni di un sistema lineare omogeneo)

Dato un sistema omogeneoRicordiamo che un sistema lineare omogeneo è sempre compatibile, ammettendo almeno la soluzione nulla. Dal momento che la matrice completa possiede l'ultima colonna nulla, è evidente che per lo studio dei sistemi lineari omogenei è sufficiente considerare la sola matrice incompleta. Un sistema lineare omogeneo ammette infinite soluzioni quando il rango della matrice dei coefficienti è minore del numero delle incognite. In tal caso si suole scrivere che il sistema ammette soluzioni (se è il numero delle variabili) intendendo che la soluzione generale dipende da parametri.

Teorema 3.5.4

Un sistema lineare omogeneo ammette soluzioni non banali se e solo se il rango della matrice associata è strettamente minore del numero delle incognite.

Teorema 3.5.5 (Spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo)

Considerato un sistema lineare omogeneo , con matrice di tipo , dette ed due soluzioni del sistema, si vede che anche è ancora soluzione del sistema, per ogni . Pertanto l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo in incognite è un sottospazio vettoriale di .

La soluzione generale di un sistema lineare omogeneo può essere generata da un opportuno insieme di soluzioni particolari del sistema, che costituiscono una base dello spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo. Ovviamente esistono più basi dello spazio delle soluzioni del sistema.
Citiamo un metodo per trovare una base.

Algoritmo 3.5.6 (Base e dimensione di sistemi lineari omogenei)

Scelti parametri del sistema, diciamoli , troviamo soluzioni del sistema corrispondenti ai seguenti valori dei parametri Si osservi che le soluzioni così trovate sono linearmente indipendenti: infatti, considerata la matrice avente per righe i vettori soluzione sopra trovati, è facile verificare che le colonne individuano la matrice identica di ordine e quindi un minore non nullo di ordine . Si può provare facilmente che esse sono anche un sistema di generatori per tutto lo spazio delle soluzioni, quindi costituiscono una base dello spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo e pertanto la dimensione dello spazio detto è .

Definizione 3.5.7 (Sistema lineare omogeneo associato ad un sistema lineare)

Dato un sistema di equazioni lineari non omogeneo , si definisce sistema lineare omogeneo associato a , il sistema che ha la stessa matrice incompleta, ma come colonna dei termini noti il vettore nullo, i.e.

Teorema 3.5.8 (Soluzioni di un sistema lineare)

Sia un sistema di equazioni lineari consistente e siano ed due sue distinte soluzioni. Allora è una soluzione del sistema lineare omogeneo associato. Inoltre se è una soluzione di , ogni altra soluzione è del tipo , dove è una soluzione di .