Teorema principale di caratterizzazione della diagonalizzazione
Teorema
(Caratterizzazione principale delle matrici / endomorfismi diagonalizzabili) Sia 
e siano 
i suoi autovalori distinti di molteplicità algebrica 
Allora 
è diagonalizzabile se e solo se 
e siano i suoi autovalori distinti di molteplicità algebrica Allora è diagonalizzabile se e solo se Dimostrazione
Il polinomio caratteristico di 
ha grado 
, quindi se la somma delle molteplicità algebrica degli autovalori è 
, vuol dire che il polinomio ha tutte le radici in 
Dall'ipotesi che 
segue che 
ha grado , quindi se la somma delle molteplicità algebrica degli autovalori è , vuol dire che il polinomio ha tutte le radici in Dall'ipotesi che segue che Viceversa, se 
è diagonalizzabile, allora 
da cui 
=
. Pertanto 
=
è diagonalizzabile, allora da cui =. Pertanto = D'altra parte, poichè 
si ha anche 
perchè il polinomio caratteristico ha grado n. Segue che 
e dalla relazione che intercorre tra 
e 
deve aversi necessariamente 
si ha anche perchè il polinomio caratteristico ha grado n. Segue che e dalla relazione che intercorre tra e deve aversi necessariamente Osservazione
Il teorema precedente può essere riformulato come segue: 
è diagonalizzabile se e solo se il polinomio caratteristico 
ha tutte le radici in 
e la molteplicità algebrica di ciascun autovalore coincide con la molteplicità geometrica.
è diagonalizzabile se e solo se il polinomio caratteristico ha tutte le radici in e la molteplicità algebrica di ciascun autovalore coincide con la molteplicità geometrica. 
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