domenica 6 marzo 2011

Teorema principale di caratterizzazione della diagonalizzazione


Teorema principale di caratterizzazione della diagonalizzazione

Teorema
(Caratterizzazione principale delle matrici / endomorfismi diagonalizzabili) Sia MATHe siano MATHi suoi autovalori distinti di molteplicità algebrica MATHAllora $A$è diagonalizzabile se e solo se MATH$\forall i=1,...,t.$
Dimostrazione
Il polinomio caratteristico di $A$ha grado $n$, quindi se la somma delle molteplicità algebrica degli autovalori è $n$, vuol dire che il polinomio ha tutte le radici in $K.$Dall'ipotesi che MATH$\forall i=1,...,t$segue che MATH
Viceversa, se $A$è diagonalizzabile, allora MATHda cui MATH=$n$. Pertanto MATH=$n.$
D'altra parte, poichè MATHsi ha anche MATHperchè il polinomio caratteristico ha grado n. Segue che MATHe dalla relazione che intercorre tra MATHe MATHdeve aversi necessariamente MATH
Osservazione
Il teorema precedente può essere riformulato come segue: $A$è diagonalizzabile se e solo se il polinomio caratteristico $|A-\lambda I|$ha tutte le radici in $K$e la molteplicità algebrica di ciascun autovalore coincide con la molteplicità geometrica.

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