lunedì 7 marzo 2011

Strutture Algebriche: Definizioni e Proprietà

Strutture algebriche

Operazioni in un insieme

Assegnati due insiemi non vuoti $S$ e $T$, si dice corrispondenza o applicazione $f$ tra $S$ e $T$ o funzione $f$ di $S$ in $T$ una legge che associa ad ogni elemento di un sottoinsieme non vuoto di $S$ uno ed un solo elemento di $T$. In simboli si ha MATHMATH

Si dice dominio o insieme di definizione di $f,$ il sottoinsieme non vuoto di $S$ indicato con $\QTR{rm}{dom}f$, i cui elementi hanno i corrispondenti in $T$ mediante $f$.
Il corrispondente $y\in T$ di $x\in S$ mediante $f$ si dice immagine di $x$ in $T$ mediante $f$$,$ in generale il sottoinsieme di $T$, MATH si chiama immagine di $S$ mediante $f$ o anche codominio di $f$ e si indica con $\QTR{rm}{codom}f$.
Piu' in generale, se $A\subseteq S$, si chiama immagine di $A$ mediante $f$, l'insiemeMATHe se $B\subseteq T$ si chiama immagine inversa di $B$ mediante $f$ il sottoinsieme di $S$MATH
Una applicazione $f:S\rightarrow T$ si dice iniettiva se elementi distinti di $S$ hanno immagini distinte, ossia se e solo se ogni elemento di $T$ e' corrispondente di al piu' un elemento di $S.$
Una applicazione $f:S\rightarrow T$ si dice suriettiva se per ogni elemento $y\in T$ esiste almeno un $x\in S$ tale che $f(x)=y,$ ossia se e solo se $f(S)=T.$
Una applicazione iniettiva e suriettiva si dice biettiva, in generale $f:S\rightarrow T$ e' biettiva se e solo se per ogni $y\in T$ esiste un unico $x\in S$ tale che $f(x)=y.$

Sia $S$ un insieme non vuoto e si consideri il prodotto cartesiano $S \times S$. Ogni funzione MATH si dice legge di composizione interna ad $S$ o operazione binaria in $S$. Un'operazione $f$ si dice chiusa in $S$ se MATH. Se MATH si dice che l'operazione non possiede chiusura in $S$.

Definizioni e proprieta'

Struttura algebrica.

Un insieme $S$ munito di un'operazione interna $\ast $ definisce una struttura algebrica $A=(S,\ast )$. L'insieme $S$ si dice sostegno della struttura. Talvolta si scrive $a\in A$ invece di $a\in S$.
Un sottoinsieme $T$ di $S$ si dice stabile rispetto all'operazione $\ast $ definita in $S$ se MATHIn generale considerata una struttura algebrica $(S,\diamond )$ accade che MATHSe invece per ogni $a,b,c\in S$ risulta MATHla struttura $(S,\diamond )$ si dice associativa o monoide. In tal caso ha senso la scrittura MATH, cioe' nell'ultima formula possono essere omesse le parentesi.
In una struttura algebrica $(S,\diamond )$ in generale risulta MATHSe, invece, risulta MATHgli elementi $a$ e $b$ si dicono permutabili.
Una struttura $(S,\diamond )$, per la quale risulti MATH per ogni $a,b\in S$ si dice commutativa o abeliana (da Niels Henrik Abel).

Elementi neutri.

Sia $(S,\star )$ una struttura algebrica, se esiste un elemento $e$ tale che MATH$e$ si dice elemento neutro a sinistra per $(S,\star )$. Se, invece, risulta MATH$e$ si dice elemento neutro a destra per $(S,\star )$. Una struttura algebrica puo' avere piu' di un elemento neutro a destra, oppure piu' di un elemento neutro a sinistra. Va osservato pero' che vale il seguente risultato:
Teorema Sia $(S,\star )$ una struttura algebrica e siano $e^{\prime }$ ed $e^{\prime \prime }$, rispettivamente, elemento neutro a destra e a sinistra per $S$. Allora MATH.
Schema dimostrativo
E' sufficiente applicare la definizione di elemento neutro a destra ed a sinistra.
Poiche' $e^{\prime }$ e' elemento neutro a destra, risulta MATHd'altra parte, poiche' $e^{\prime \prime }$ e' elemento neutro a sinistra risulta MATHse ne deduce che MATH
Nelle ipotesi del teorema precedente si dice che la struttura $(S,\star )$ e' dotata solo di elemento neutro. Da tale teorema si deduce pure che se una struttura possiede un elemento neutro allora questo e' unico.

Se $(S,\star )$ e' una struttura abeliana, allora se $e^{\prime }$ e' elemento neutro a destra (o a sinistra) esso risultera' pure elemento neutro a sinistra (o a destra). Infatti MATHSe un'operazione e' presentata in notazione additiva, i.e. con $+$, l'elemento neutro si dice elemento nullo e viene denotato con $0$. Se un'operazione e' presentata in notazione moltiplicativa, i.e. con $\cdot $, l'elemento neutro viene detto unita' e indicato con $1$.

Elementi simmetrici.

Sia $(S,\diamond )$ una struttura algebrica dotata di elemento neutro $e$. L'elemento $a^{\prime }$ e' simmetrico a sinistra di $a$ se MATHAnalogamente $a^{\prime \prime }$ si dice simmetrico a destra di $a$ se MATHUn elemento $a$ che ammetta almeno un elemento simmetrico a sinistra (risp. a destra) si dice simmetrizzabile a sinistra (risp. a destra).

Se la legge $\diamond $ e' abeliana allora $a^{\prime }$ si dice solo elemento simmetrico ed $a$ si dice simmetrizzabile. Se l'operazione e' denotata additivamente il simmetrico di $a$ si dice opposto e si indica con $-a$. Se l'operazione e' denotata moltiplicativamente il simmetrico si dice inverso e si indica con $a^{-1}$. Pertanto si avra' MATHMATH

Elementi regolari o cancellabili.

Sia $(S,\diamond )$ una struttura algebrica. Un elemento $a\in S$ si dice cancellabile a destra per $\diamond $ se MATHAnalogamente un elemento $a\in S$ si dice cancellabile a sinistra per $\diamond $ se MATHUn elemento $a$ cancellabile a destra e a sinistra si dice regolare. Se una struttura e' abeliana ovviamente essa puo' possedere solo elementi regolari. In una struttura si dice che vale la legge di cancellazione o di semplificazione se ogni elemento della struttura e' regolare.

Gruppi.

Si dice che la struttura algebrica $(S,\star )$ e' un gruppo se soddisfa i seguenti assiomi:
  • MATH
  • MATH
  • MATH
  • MATH

Dunque una struttura algebrica e' un gruppo se e' un monoide dotato di elemento neutro ed ogni elemento e' simmetrizzabile. Un gruppo si dice gruppo finito se l'ordine ( Note_1 ) di $S$ e' finito. Un gruppo si dice gruppo infinito se $S$ e' infinito. Un gruppo $(S,\star )$ si dice abeliano se la $\star $ e' commutativa.

Anelli.

Una struttura algebrica si dice anello se essa e' dotata di due operazioni interne, rispetto alla prima delle quali risulti un gruppo abeliano e sia tale che la seconda operazione sia associativa e distributiva rispetto alla prima. In generale si adopera la notazione additiva per la prima operazione e la notazione moltiplicativa per la seconda, i.e $(S,+,\cdot )$. Dunque $(S,+,\cdot )$ e' un anello se
  • $(S,+)$ e' un gruppo abeliano,
  • $(S,\cdot )$ e' un monoide,
  • MATH e MATH
L'elemento neutro di $(S,+)$ si definisce $0$ dell'anello. Un anello $(S,+,\cdot )$ si dice commutativo o abeliano se il monoide $(S,\cdot )$ e' abeliano. Gli elementi $x,y$ di un anello non abeliano, tali che $a\cdot b=b\cdot a$ si dicono permutabili. L'anello $(S,+,\cdot )$ si dice unitario se l'anello $(S,\cdot )$ e' dotato di elemento neutro. Altrimenti l'anello si dice privo di unita'.

Campi.

Una struttura algebrica $(S,+,\cdot )$ che sia un anello e per cui MATH risulti un gruppo si dice corpo. Un corpo per cui $\cdot $ sia commutativa si dice campo.


Per maggiori approfondimenti inerenti gli argomenti trattati cfr. Bibliografia.

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