Strutture Algebriche: Definizioni e Proprietà ~ solo matematica

lunedì 7 marzo 2011

Strutture Algebriche: Definizioni e Proprietà

Strutture algebriche

Operazioni in un insieme

Assegnati due insiemi non vuoti

, si dice corrispondenza o applicazione

tra

o funzione

una legge che associa ad ogni elemento di un sottoinsieme non vuoto di

uno ed un solo elemento di

. In simboli si ha MATH

Si dice dominio o insieme di definizione di

il sottoinsieme non vuoto di

indicato con $\QTR{rm}{dom}f$ , i cui elementi hanno i corrispondenti in

mediante

.
Il corrispondente $y\in T$ di $x\in S$ mediante

si dice immagine di

mediante

in generale il sottoinsieme di

si chiama immagine di

mediante

o anche codominio di

e si indica con $\QTR{rm}{codom}f$ .
Piu' in generale, se $A\subseteq S$ , si chiama immagine di

mediante

, l'insieme MATH

e se $B\subseteq T$ si chiama immagine inversa di

mediante

il sottoinsieme di

Una applicazione $f:S\rightarrow T$ si dice iniettiva se elementi distinti di

hanno immagini distinte, ossia se e solo se ogni elemento di

e' corrispondente di al piu' un elemento di

Una applicazione $f:S\rightarrow T$ si dice suriettiva se per ogni elemento $y\in T$ esiste almeno un $x\in S$ tale che

ossia se e solo se

Una applicazione iniettiva e suriettiva si dice biettiva, in generale $f:S\rightarrow T$ e' biettiva se e solo se per ogni $y\in T$ esiste un unico $x\in S$ tale che

Sia

un insieme non vuoto e si consideri il prodotto cartesiano $S \times S$ . Ogni funzione

si dice legge di composizione interna ad

o operazione binaria in

. Un'operazione

si dice chiusa in

. Se

si dice che l'operazione non possiede chiusura in

Definizioni e proprieta'

Struttura algebrica.

Un insieme

munito di un'operazione interna $\ast$ definisce una struttura algebrica $A=(S,\ast )$ . L'insieme

si dice sostegno della struttura. Talvolta si scrive $a\in A$ invece di $a\in S$ .
Un sottoinsieme

si dice stabile rispetto all'operazione $\ast$ definita in

In generale considerata una struttura algebrica $(S,\diamond )$ accade che MATH

Se invece per ogni $a,b,c\in S$ risulta MATH

la struttura $(S,\diamond )$ si dice associativa o monoide. In tal caso ha senso la scrittura

, cioe' nell'ultima formula possono essere omesse le parentesi.
In una struttura algebrica $(S,\diamond )$ in generale risulta MATH

Se, invece, risulta MATH

gli elementi

si dicono permutabili.
Una struttura $(S,\diamond )$ , per la quale risulti

per ogni $a,b\in S$ si dice commutativa o abeliana (da Niels Henrik Abel).

Elementi neutri.

Sia $(S,\star )$ una struttura algebrica, se esiste un elemento

tale che

si dice elemento neutro a sinistra per $(S,\star )$ . Se, invece, risulta MATH

si dice elemento neutro a destra per $(S,\star )$ . Una struttura algebrica puo' avere piu' di un elemento neutro a destra, oppure piu' di un elemento neutro a sinistra. Va osservato pero' che vale il seguente risultato:
Teorema Sia $(S,\star )$ una struttura algebrica e siano $e^{\prime }$ ed $e^{\prime \prime }$ , rispettivamente, elemento neutro a destra e a sinistra per

. Allora

Schema dimostrativo

E' sufficiente applicare la definizione di elemento neutro a destra ed a sinistra.

Poiche' $e^{\prime }$ e' elemento neutro a destra, risulta MATH

d'altra parte, poiche' $e^{\prime \prime }$ e' elemento neutro a sinistra risulta MATH

se ne deduce che

Nelle ipotesi del teorema precedente si dice che la struttura $(S,\star )$ e' dotata solo di elemento neutro. Da tale teorema si deduce pure che se una struttura possiede un elemento neutro allora questo e' unico.

Se $(S,\star )$ e' una struttura abeliana, allora se $e^{\prime }$ e' elemento neutro a destra (o a sinistra) esso risultera' pure elemento neutro a sinistra (o a destra). Infatti MATH

Se un'operazione e' presentata in notazione additiva, i.e. con

, l'elemento neutro si dice elemento nullo e viene denotato con

. Se un'operazione e' presentata in notazione moltiplicativa, i.e. con $\cdot$ , l'elemento neutro viene detto unita' e indicato con

Elementi simmetrici.

Sia $(S,\diamond )$ una struttura algebrica dotata di elemento neutro

. L'elemento $a^{\prime }$ e' simmetrico a sinistra di

Analogamente $a^{\prime \prime }$ si dice simmetrico a destra di

Un elemento

che ammetta almeno un elemento simmetrico a sinistra (risp. a destra) si dice simmetrizzabile a sinistra (risp. a destra).

Se la legge $\diamond$ e' abeliana allora $a^{\prime }$ si dice solo elemento simmetrico ed

si dice simmetrizzabile. Se l'operazione e' denotata additivamente il simmetrico di

si dice opposto e si indica con

. Se l'operazione e' denotata moltiplicativamente il simmetrico si dice inverso e si indica con $a^{-1}$ . Pertanto si avra' MATH

Elementi regolari o cancellabili.

Sia $(S,\diamond )$ una struttura algebrica. Un elemento $a\in S$ si dice cancellabile a destra per $\diamond$ se MATH

Analogamente un elemento $a\in S$ si dice cancellabile a sinistra per $\diamond$ se MATH

Un elemento

cancellabile a destra e a sinistra si dice regolare. Se una struttura e' abeliana ovviamente essa puo' possedere solo elementi regolari. In una struttura si dice che vale la legge di cancellazione o di semplificazione se ogni elemento della struttura e' regolare.

Gruppi.

Si dice che la struttura algebrica $(S,\star )$ e' un gruppo se soddisfa i seguenti assiomi:

Dunque una struttura algebrica e' un gruppo se e' un monoide dotato di elemento neutro ed ogni elemento e' simmetrizzabile. Un gruppo si dice gruppo finito se l'ordine ( Note_1 ) di

e' finito. Un gruppo si dice gruppo infinito se

e' infinito. Un gruppo $(S,\star )$ si dice abeliano se la $\star$ e' commutativa.

Anelli.

Una struttura algebrica si dice anello se essa e' dotata di due operazioni interne, rispetto alla prima delle quali risulti un gruppo abeliano e sia tale che la seconda operazione sia associativa e distributiva rispetto alla prima. In generale si adopera la notazione additiva per la prima operazione e la notazione moltiplicativa per la seconda, i.e $(S,+,\cdot )$ . Dunque $(S,+,\cdot )$ e' un anello se

e' un gruppo abeliano,
$(S,\cdot )$ e' un monoide,
e

L'elemento neutro di

si definisce

dell'anello. Un anello $(S,+,\cdot )$ si dice commutativo o abeliano se il monoide $(S,\cdot )$ e' abeliano. Gli elementi

di un anello non abeliano, tali che $a\cdot b=b\cdot a$ si dicono permutabili. L'anello $(S,+,\cdot )$ si dice unitario se l'anello $(S,\cdot )$ e' dotato di elemento neutro. Altrimenti l'anello si dice privo di unita'.

Campi.

Una struttura algebrica $(S,+,\cdot )$ che sia un anello e per cui

risulti un gruppo si dice corpo. Un corpo per cui $\cdot$ sia commutativa si dice campo.

Per maggiori approfondimenti inerenti gli argomenti trattati cfr. Bibliografia.

lunedì 7 marzo 2011