venerdì 4 marzo 2011

Matrice a Scalini


Definizione 2.3.1
Una matrice $A\in M_{m,n}(R)$ non nulla si dice a scalini (relativamente alle righe) se ha le seguenti proprietà:
  • se una riga è nulla, tutte le righe successive sono nulle;
  • il primo elemento non nullo di una riga, detto pivot, è sempre più a sinistra del primo elemento non nullo delle righe successive.
Teorema 2.3.2
Ogni matrice $A\in M_{m,n}(R)$ può essere ridotta a scalini per mezzo delle seguenti operazioni (dette elementari):
  • scambio di righe MATH
  • sostituzione di una riga con un suo multiplo
    MATH, MATH
  • sostituzione di una riga con la stessa a cui viene aggiunto un multiplo di un'altra riga MATH, $\lambda \in R.$
Riportiamo di seguito l'algoritmo (detto di Gauss) di riduzione di una matrice appartenente a MATH a forma a scalini.
Algoritmo 2.3.3   
(Gauss - riduzione a scalini)
Passo 1
Individuiamo la prima colonna non nulla (partendo da sinistra) di $A$,diciamola $h$, e il primo elemento (partendo dall'alto) non nullo di tale colonna. Sia $k$ l'indice di riga corrispondente, ovvero sia $a_{kh}\neq 0$.
Passo 2
Se $k\neq 1$, scambiamo le righe $r_{1}$ e $r_{k}$ MATH in modo da portare $a_{kh}$ nella prima riga, e quindi si ha $a_{1h}\neq 0$.
Passo 3
Per ogni riga $r_{i},$ $i>1$, dobbiamo azzerare l'elemento $a_{ih}$ e a tal fine operiamo la trasformazione elementare MATH.
Passo 4
Escludiamo la prima riga, vale a dire consideriamo la sottomatrice delle righe $r_{i}$, $2\leq i\leq m.$ Se quest'ultima è costituita da una sola riga o è la matrice nulla l'algoritmo termina; altrimenti ricominciamo dal passo 1 applicato a tale sottomatrice. Terminato l'algoritmo si ricava una matrice a scalini $S$.
Definizione 2.3.4
Una matrice $A\in M_{m,n}(R)$ non nulla si dice a scalini ridotta (relativamente alle righe) se ha le seguenti proprietà:
  • la matrice è in forma a scalini;
  • il pivot di ogni riga vale 1;
  • ogni pivot è l'unico elemento non nullo della colonna a cui appartiene.
Ogni matrice può essere trasformata in una matrice a scalini ridotta, utilizzando operazioni elementari. Un modo di procedere è quello di applicare applicare ancora l'algoritmo di Gauss a partire dal pivot dell'ultima riga non nulla, tenendo conto anche delle trasformazioni per rendere pari a $1$ tutti i pivot (basta dividere ogni riga per il pivot della riga stessa).
Osservazione 2.3.5
Osserviamo che la forma a scalini ridotta di una matrice è unica mentre esistono più forme a scalini.

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