Matrice a Scalini

Definizione 2.3.1

Una matrice non nulla si dice a scalini (relativamente alle righe) se ha le seguenti proprietà:

• se una riga è nulla, tutte le righe successive sono nulle;
  
• il primo elemento non nullo di una riga, detto pivot, è sempre più a sinistra del primo elemento non nullo delle righe successive.
  

Teorema 2.3.2

Ogni matrice può essere ridotta a scalini per mezzo delle seguenti operazioni (dette elementari):

• scambio di righe
  
• sostituzione di una riga con un suo multiplo
  ,
  
• sostituzione di una riga con la stessa a cui viene aggiunto un multiplo di un'altra riga ,
  

Riportiamo di seguito l'algoritmo (detto di Gauss) di riduzione di una matrice appartenente a a forma a scalini.

Algoritmo 2.3.3   

(Gauss - riduzione a scalini)

Passo 1

Individuiamo la prima colonna non nulla (partendo da sinistra) di ,diciamola , e il primo elemento (partendo dall'alto) non nullo di tale colonna. Sia l'indice di riga corrispondente, ovvero sia .

Passo 2

Se , scambiamo le righe e in modo da portare nella prima riga, e quindi si ha .

Passo 3

Per ogni riga , dobbiamo azzerare l'elemento e a tal fine operiamo la trasformazione elementare .

Passo 4

Escludiamo la prima riga, vale a dire consideriamo la sottomatrice delle righe , Se quest'ultima è costituita da una sola riga o è la matrice nulla l'algoritmo termina; altrimenti ricominciamo dal passo 1 applicato a tale sottomatrice. Terminato l'algoritmo si ricava una matrice a scalini .

Definizione 2.3.4

Una matrice non nulla si dice a scalini ridotta (relativamente alle righe) se ha le seguenti proprietà:

• la matrice è in forma a scalini;
  
• il pivot di ogni riga vale 1;
  
• ogni pivot è l'unico elemento non nullo della colonna a cui appartiene.
  

Ogni matrice può essere trasformata in una matrice a scalini ridotta, utilizzando operazioni elementari. Un modo di procedere è quello di applicare applicare ancora l'algoritmo di Gauss a partire dal pivot dell'ultima riga non nulla, tenendo conto anche delle trasformazioni per rendere pari a tutti i pivot (basta dividere ogni riga per il pivot della riga stessa).

Osservazione 2.3.5

Osserviamo che la forma a scalini ridotta di una matrice è unica mentre esistono più forme a scalini.