Definizione Sistemi Lineari

Definizione 3.1.1 (Equazione Lineare)

Si definisce equazione lineare una espressione della forma dove sono numeri reali, detti coefficienti dell'equazione, sono dette incognite e si dice termine noto.

Definizione 3.1.2 (Soluzione di un'equazione lineare)

Una soluzione di una equazione lineare è una -upla di numeri reali che verifichi l'equazione, cioè tale che

Per risoluzione di un'equazione lineare si intende la determinazione di tutte le -uple che verifichino l'equazione.

Definizione 3.1.3 (Sistema di equazioni lineari)

Un sistema di equazioni lineari è un insieme di equazioni lineari che devono essere soddisfatte simultaneamente:

(3.1)

 

dove le incognite sono ,

i coefficienti sono

e i termini noti sono .

Esempio 3.1.4 (Sistema di equazioni lineari)

Il seguente è un sistema lineare di tre equazioni in quattro incognite.

Definizione 3.1.5 (Soluzione di un sistema di equazioni lineari)

Si definisce soluzione di un sistema lineare di equazioni in incognite una -pla che è soluzione di ciascuna delle equazioni del sistema.

Definizione 3.1.6 (Sistemi di equazioni lineari compatibili e non)

Un sistema di equazioni lineari si dice compatibile (o consistente) se ammette almeno una soluzione. Viceversa il sistema si dice incompatibile (o impossibile).

Esempio 3.1.7

Il sistema seguente di due equazioni in due incognite
è impossibile. Il sistema di due equazioni in due incognite
è invece compatibile, poiché ammette la soluzione

Inoltre può accadere che un sistema lineare ammetta più di una soluzione. Si dimostra che se un sistema di equazioni lineari ammette più di una soluzione, allora ne ammette infinite. Quindi possiamo affermare il seguente:

Teorema 3.1.8

Un sistema lineare ammette nessuna, una o infinitesoluzioni.

Dim.

Supponiamo che il sistema lineare in esame abbia due soluzioni, diciamole e . Allora si ha che , con . Infatti:Data l'arbitrarietà di , possiamo concludere che riusciamo a costruire infinite soluzioni a partire da due date.

Esempio 3.1.9

Il sistema di due equazioni in due incognite ammette infinite soluzioni, i.e. .

Per trattare un sistema sistema di equazioni lineari è opportuno introdurre la notazione matriciale.

Definizione 3.1.10

Ad ogni sistema lineare si possono associare due matrici: dette rispettivamente matrice incompleta (o dei coefficienti) e matrice completa.

Definizione 3.1.11 (Notazione matriciale di un sistema lineare)

Posto si può scrivere il sistema (3.1) nella forma matriciale

(3.2)

 dove è appunto la matrice dei coefficienti di tipo , è un vettore colonna di tipo , è un vettore colonna di tipo (detto colonna dei termini noti) e l'espressione indica il prodotto riga per colonna fra e .

Esempio 3.1.12

Il sistema di equazioni lineari dell'esempio 3.1.4, in notazione matriciale diventa:

Esempio 3.1.13 (Matrice incompleta e completa di un sistema di equazioni lineari)

Per il sistema lineare si ha:

Definizione 3.1.14

Siano , vettori colonna, di righe, corrispondenti alle colonne della matrice dei coefficienti e sia il vettore dei termini noti. Un sistema di equazioni lineari può essere descritto anche come equazione vettoriale:

(3.3)

 

Esempio 3.1.15

Con riferimento all'esempio 3.1.4, si ha che le colonne del sistema sono

Teorema 3.1.16 (Sistemi di equazioni lineari con un'unica soluzione)

Sia . Un sistema di equazioni lineari ammette un'unica soluzione se e solo se ( uguale al numero delle incognite).

Teorema 3.1.17 (Sistemi di equazioni lineari con infinite soluzioni)

Sia . Un sistema di equazioni lineari ammette infinite soluzioni se e solo se ( uguale al numero delle incognite).

Teorema 3.1.18

Sia . Se , esistono righe del sistema linearmente indipendenti e righe linearmente dipendenti. Si dimostra facilmente che ogni soluzione del sistema ridotto formato dalle sole righe linearmente indipendenti soddisfa anche le restanti righe linearmente dipendenti.

Dim.

 Supponiamo, senza perdita di generalità, che le prime righe siano linearmente indipendenti. Sia una delle righe linearmente dipendenti dalle prime . Si avrà pertanto , , ..., e .