Teorema 3.2.1 (Rouche'-Capelli)
Un sistema lineare ammette soluzioni se e solo se la sua matrice completa ha lo stesso rango della matrice incompleta.
Osservazione 3.2.2
(Dim. Teor. di Rouché-Capelli) Per convincersi della validità dell'Enunciato del Teorema 3.2.1 si osservi, dapprima, che dato un sistema, questo è riducibile in forma a scalini, ottenendo un sistema ad esso equivalente. Poiché il rango si conserva attraverso operazioni elementari si ottiene, per questo nuovo sistema, una matrice completa a scalini con lo stesso rango di quella di partenza. Se ora la matrice completa ha rango 
della matrice incompleta significa che c'è una riga del tipo 
e che dunque il sistema è incompatibile. E' altresì evidente che se invece i due ranghi coincidono il sistema si risolve per sostituzione all'indietro.
della matrice incompleta significa che c'è una riga del tipo e che dunque il sistema è incompatibile. E' altresì evidente che se invece i due ranghi coincidono il sistema si risolve per sostituzione all'indietro. Osservazione 3.2.3 (Sistemi ridotti)
Dal teor. di Rouché - Capelli e dalle considerazioni fatte sui sistemi a scala si deduce che se 
è un sistema lineare di 
equazioni in 
incognite di rango 
, allora il sistema ammette un'unica soluzione se 
, infinite soluzioni se 
, ed in tal caso le soluzioni dipendono da 
parametri. Se per il calcolo del rango delle matrici associate al sistema lineare, si applica il teorema degli orlati, i minori coinvolti nel calcolo dell'orlato non singolare individuano anche le righe del sistema linearmente indipendenti, ovvero un sistema lineare ridotto equivalente al primo. Se il sistema ammette infinite soluzioni, allora gli 
parametri corrispondono alle variabili relative alle colonne che sono fuori dall'orlato non singolare.
è un sistema lineare di equazioni in incognite di rango , allora il sistema ammette un'unica soluzione se , infinite soluzioni se , ed in tal caso le soluzioni dipendono da parametri. Se per il calcolo del rango delle matrici associate al sistema lineare, si applica il teorema degli orlati, i minori coinvolti nel calcolo dell'orlato non singolare individuano anche le righe del sistema linearmente indipendenti, ovvero un sistema lineare ridotto equivalente al primo. Se il sistema ammette infinite soluzioni, allora gli parametri corrispondono alle variabili relative alle colonne che sono fuori dall'orlato non singolare. Esempio 3.2.4
Si consideri il sistema 
tale sistema è di tre equazioni in tre incognite, ma è facile verificare che esso ha rango 
, poiché la seconda equazione è ottenuta dalla prima moltiplicandola per 
, pertanto, esso ammette 
soluzioni, cioè soluzioni che dipendono da un parametro. In forma matriciale, si vede subito che 
e la seconda riga è il doppio della prima. Le soluzioni sono dunque 
.
tale sistema è di tre equazioni in tre incognite, ma è facile verificare che esso ha rango , poiché la seconda equazione è ottenuta dalla prima moltiplicandola per , pertanto, esso ammette soluzioni, cioè soluzioni che dipendono da un parametro. In forma matriciale, si vede subito che e la seconda riga è il doppio della prima. Le soluzioni sono dunque . 
0 commenti :
Posta un commento