Insiemi Numerici

Insiemi Numerici

Principali insiemi numerici

...Dio creò i numeri naturali; tutto il resto è opera dell'uomo...(L. Kronecker)




In generale, gli insiemi numerici che tratteremo saranno insiemi di numeri. I principali insiemi numerici di cui ci occuperemo sono:

1. , insieme dei numeri naturali o interi positivi, ovvero
   
2. , insieme dei numeri interi, ovvero
   
   
3. , insieme dei numeri razionali, ovvero le frazioni dove ed quali ad esempio
   
4. , insieme dei numeri reali, quali, ad esempio, (numero di Nepero),...
   

Gli insiemi sopra richiamati sono chiaramente inclusi l'uno nell'altro. Precisamente si ha:come si vede dal diagramma di Venn in figura.

Così, ad esempio, i numeri appartengono a tutti gli insiemi considerati, mentre il numero non appartiene ad ma appartiene sia a , sia a , sia ad Evitiamo, dunque, di dire, ad esempio, che non è un numero reale!
Accanto agli insiemi precedenti sono di uso corente i seguenti:ove, strettamente positivi significa
L'introduzione successiva dei vari insiemi numerici, compiuta nel corso degli studi precedenti, è stata fatta e giustificata in relazione a delle esigenze di tipo squisitamente matematico, ma che ovviamente hanno riscontro in altrettante esigenze applicative. Ad esempio, già nelle elementari, dopo , è stato introdotto l'insieme in risposta alle necessità di eseguire le divisioni; più tardi sono stati introdotti e per poter eseguire le differenze. In ogni equazione di primo grado è risolubile con soluzione unica, cioé:Anche l'introduzione di corrisponde a delle esigenze. Un'esigenza di tipo matematico è, ad esempio, quella di poter risolvere un'equazione del tipo Tale esigenza può, però, essere vista immediatamente come la traduzione in termini algebrici del problema geometrico di trovare la lunghezza della diagonale di un quadrato di lato unitario (o del problema più pratico di trovare la massima distanza fra due punti di un tavolo quadrato di lato metro). Verifichiamo tale condizione mostrando che
Proposizione: è un numero irrazionale.

Dimostrazione

La dimostrazione si basa su un ragionamento per assurdo. Supponiamo che sia razionale e dimostriamo che tale ipotesi ci porta ad una contraddizione.

Se allora possiamo scrivere nella seguente forma:

Elevando tale relazione al quadrato otteniamo

Da quest'ultima relazione si deduce che è pari (poichè il suo quadrato è pari) e quindi possiamo scrivere per un qualche intero Sostituendo nella relazione precedente si ottiene

Di qui si deduce che anche è pari ed in particolare ed non sono primi tra loro, in contrasto con l'ipotesi di partenza. Abbiamo raggiunto un assurdo che deriva dall'aver ipotizzato che , da cui deriva che è un numero irrazionale.

Altri problemi geometrici e applicativi non hanno soluzione in : ad esempio, non vi è alcun numero razionale che possa essere accettato come area di un cerchio di raggio .
Per rispondere a queste e ad altre esigenze sono stati introdotti i numeri reali. Restano ancora, però, dei problemi che nell'ambito dei numeri reali no nsempre trovano soluzione, come nel caso delle equazioni algebriche di grado Ad esempio l'equazione non ha soluzioni in Questo ci porterà ad introdurre l'insieme dei numeri complessi, che sarà un'ulteriore estensione dell'insieme dei numeri reali.

Costruzione assiomatica degli insiemi , , .

I Numeri Naturali

La definizione dei numeri naturali e gli assiomi che caratterizzano le operazioni definite in rappresentano il fondamento deduttivo per tutte le strutture numeriche via via costruite con successivi ampliamenti. Tale caratterizzazione assiomatica di si deve al matematico italiano G. Peano (1858-1932) che ne diede una prima formulazione nella sua opera Arithmetices principia, nova methodo expositia (1889).
E' possibile definire i numeri naturali attraverso tre enti primitivi e tre assiomi, noti come Assiomi di Peano. Gli assiomi di Peano fanno ricorso a tre concetti primitivi, cioè non riconducibili a concetti precedenti:

a)

il concetto di "numero naturale"

b)

b) il concetto di "zero"

c)

il concetto di "successivo"

Il primo assioma - La prima proposizione (P1) dice che zero è un numero naturale, cioè:

(P1)

esiste un numero

Quindi, l'insieme non è vuoto, in quanto è specificato almeno un elemento, lo zero, che inoltre non è successivo di alcun altro numero.
Il secondo assioma - La seconda proposizione (P2) dice che ad ogni numero naturale resta associato un altro numero naturale in ogni caso diverso da , cioé il successivo di . Questa associazione è tale che numeri naturali diversi corispondono a successivi diversi: non esistono due numeri naturali con lo stesso successivo. La funzione, la corripspondenza che assegna ciascun numero naturale al suo successivo è di tipo (uno a uno), ossia una funzione iniettiva, e si chiama funzione Successore .

(P2)

Poichè è una funzione iniettiva, è escluso che si possa partire da zero e - di successivo in successivo - si possa tornare su un elemento già visitato e rimanere bloccati in un ciclo: sono esclusi i loop e tutti i modelli con un numero finito di elementi, in cui iterando la funzione Successore si possa tornare al punto di partenza.
Il terzo assioma - Il terzo postulato di Peano è quello più delicato e richiede maggiore attenzione. In termini intuitivi, il terzo assioma afferma che:

(P3)

L'insieme dei numeri naturali è descritto a partire da zero mediante applicazioni ripetute della funzione di passaggio al successivo.

In altre parole, è un insieme che si ottiene partendo da un elemento iniziale (), poi il successivo di zero (), poi il successivo di uno che chiamiamo due, e via dicendo.
In termini più formali, il terzo assioma (P3) afferma che non vi sono altri numeri naturali oltre quelli che si ottengono con questo procedimento di passaggio al successivo, ripetuto un numero infinito di volte.
Supponiamo di avere un sottoinsieme dei numeri naturali , che chiamiamo . Supponiamo anche che questo sottoinsieme contiene lo zero nonchè il successivo di ogni suo elemento. Ovvero: se contiene un elemento, non può non contenere anche il suo successivo.
Se questo sottoinsieme gode di queste due proprietà (contenere lo zero e il successivo di ogni suo elemento), non può essere altro che stesso, cioè l'intero insieme dei numeri naturali.
Il procedimento per costruire l'insieme , partendo dallo zero e utilizzando la funzione di passaggio al successivo, si chiama procedimento di induzione strutturale.

Proprietà dei Numeri Naturali

• è un insieme infinito.Per definizione, un insieme è infinito se può essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio. Sia, allora, l'insieme dei quadrati perfettie si consideri l'applicazione definita da è un'applicazione biunivoca (esercizio). Dunque è infinito.
  
• è un insieme numerabile. Si definisce, infatti, cardinalità del numerabile proprio la cardinalità caratteristica di e si denota con (si legge alef-zero).
  
• è un insieme discreto. E' sempre possibile, infatti, stabilire qual è il successivo di un qualsiasi elemento.
  

Osservazione E' noto che in le usuali operazioni di addizione e moltiplicazione hanno sempre senso, mentre le operazioni di sottrazione e divisione non sono sempre possibili . In particolare ha senso solo se , mentre ha senso solo se è multiplo di .

I Numeri Interi

E' ben noto che, mentre l'equazione è risolubile in , l'equazione non lo è. Allora si cerca di ampliare l'insieme numerico in modo da includere tutte le soluzioni di equazioni del tipo . Si giunge, quindi, all'insieme dei numeri interi relativi, .

Proprietà dei Numeri Interi

• è una estensione di nel senso che nel suo interno contiene un sottoinsieme identificabile con .
  
• è un insieme infinito, infatti e l'insieme è infinito.
  
• è un insieme numerabile. Consideriamo, infatti, la seguente applicazione:è biunivoca (esercizio), dunque è numerabile.
  
• è un insieme discreto. E' sempre possibile, infatti, stabilire qual è il successivo di un qualsiasi elemento.
  

Osservazione In la sottrazione ha sempre senso qualunque siano mentre ha senso solo se è multiplo di .

I Numeri Razionali

Per creare uno strumento adeguato ai bisogni della pratica e della teoria, è necessario estendere il concetto di numero, a partire da quello originario di numero naturale. In una lunga e lenta evoluzione vennero gradualmente accettati sullo stesso piano dei numeri naturali positivi, lo zero, i numeri interi negativi e le frazioni. I numeri interi sono un'astrazione del processo di contare insiemi finiti di oggetti, ma nella vita giornaliera si presenta la necessità non soltanto di contare singoli oggetti, ma anche di misurare delle quantità, come lunghezze, aree, pesi e tempo. Se si vuole operare liberamente con le misure di queste quantità, è necessario estendere l'insieme numerico degli interi.
L'esigenza di ampliare l'insieme dei numeri interi sorge, oltre che per esigenze pratiche legate alla misurazione, anche per esigenze di carattere algebrico legate alla risoluzione di equazioni del tipo , , .
L'insieme dei numeri razionali si introduce a partire da in modo analogo a come si passa a a partire da . Un elemento di è rappresentabile mediante una frazionecon e
Poichè si ha ogni ha infinite rappresentazioni frazionarie. Una rappresentazione tale che non abbiano fattori comuni si dice frazione ridotta ai minimi termini.
I numeri razionali positivi sono del tipo con concordi (ovvero con lo stesso segno, cioè interi positivi oppure interi negativi).
I numeri razionali negativi sono quelli tale che con discordi (ovvero di segno diverso, cioè intero positivo e intero negativo oppure viceversa).
Le frazioni rappresentano il numero , qualunque sia

Proprietà dei Numeri Razionali

• è una estensione di nel senso che nel suo interno contiene un sottoinsieme identificabile con . E' sufficiente, infatti, considerare l'applicazione iniettivadefinita da dove
  
• è un insieme infinito, infatti e l'insieme è infinito.
  
• è un insieme numerabile. La scoperta che l'insieme è numerabile e, quindi ha tanti elementi quanti ne ha , è dovuta al matematico G. Cantor (1845-1918) e la dimostrazione è nota come metodo diagonale di Cantor. Consideriamo i razionali non negativi disposti come nella seguente tabella:sulla tabella è possibile stabilire un percorso che consente di elencare tutti i suoi elementi. Si evidenzia così la corrispondenza biunivoca con :Anche le frazioni negative ridotte ai minimi termini sono, come si può dedurre con un analogo ragionamento, un insieme numerabile. L'unione di due (in generale di un numero finito) insiemi numerabili è numerabile, dunque l'insieme dei numeri razionali è numerabile.
  

Le usuali operazioni in hanno sempre senso eccetto la divisione per . Per questo tali operazioni vengono anche chiamate operazioni razionali, mentre in particolare vengono anche dette operazioni razionali intere (avendo sempre senso in ).