il Principio di Induzione Dalle Applicazioni alla Teoria

Dalle Applicazioni alla Teoria: il Principio di Induzione

Inzialmente proponiamo una situazione astratta in cui l'utente immagini di trovarsi in un bel castello pieno di tanti oggetti d'arte, quadri, mobili, gioielli, suppellettili, animali imbalsamati, giardini pensili, serre, libri, video, dischi,...! Ed è tutto suo, lo ha appena ereditato da uno sconosciuto e ricchissimo zio cinese; è tutto distribuito nelle varie stanze e sarebbe bello dare una prima occhiata. Si sale al primo piano e ci si trova in un corridoio lunghissimo con tantissime porte, sulla destra. Immagini pure che ogni porta, come in un grande ufficio, abbia il suo numero in successione... chiaramente, l'occhio ne vede solo una parte, ma se ne intuisce la presenza di tante altre, di infinite porte... di tutte. Chissà cosa c'è dentro, dietro ad ogni porta? Sarebbe bello entrarvi! Ma le porte sembrano chiuse... solo sulla porta c'è la chiave nella toppa! Beh, ma allora si può aprire... e si può entrare! Entriamo! Ed ecco che oltre a tutto il mobilio, c'è la chiave della porta ! Ottimo, ma allora si può entrare anche nella seconda stanza, aprendo la porta ! E dietro la porta c'è la seconda stanza che fra le tante cose... contiene la chiave della porta .... ma allora si può accedere anche alla stanza e nella stanza 3 c'è la chiave della porta ... e qui quella della porta ... e così via! Allora se continua così... è fatta!!! Si può accedere a tutte le stanze e scoprire questo infinito patrimonio!

Da questa situazione piuttosto astratta, passiamo ad una più reale basata sul medesimo procedimento logico, ossia della scoperta dell'infinito a partire dal finito. In tale contesto rivestono un ruolo principale delle particolari figure geometriche note con il nome di frattali. La principale proprietà dei frattali è l'autosimilarità, infatti essi possono essere definiti come delle figure geometriche in cui un motivo identico si ripete su scale via via sempre più ridotte. Consideriamo la seguente figurala quale apparentemente ci dirà poco o niente, ma supponiamo di considerarne una particolare decomposizione secondo la quale a partire da essa si può passare alla seconda immagine sottostante

e poi da quest'ultima con la medesima decomposizione si passa alla terza immagine.
Iterando la decomposizione otterremo uno dei classici frattali, noto come il fiocco di neve di Von Koch, illustrato nella figura sottostante
Come si interpreta tutto questo da un punto di vista matematico? La risposta cela un procedimento logico secondo il quale se una ben assegnata proprietà vale per un qualunque numero naturale allora in determinate ipotesi questo determina un processo a catena, simile a quello della decomposizione ricorsiva della curva di Von Koch o della apertura delle porte delle stanze una dentro l'altra, secondo il quale la validità per un n-mo numero naturale si riflette su tutti gli altri numeri naturali, rendendo la medesima proprieta' vera in tutto l'insieme

Verso il Principio di Induzione.

L'idea intuitiva che conduce al ben noto Principio di Induzione è quella dell'effetto domino, immaginiamo, infatti, di disporre in fila delle tessere da domino, affinchè esse cadano tutte in sequenza, basta che cada la prima o comunque una delle prime tessere e che le successive siano disposte in modo che la loro caduta sia legata a quella della tessera precedente, così come illustrato in figura 1

Allo scopo di condurre l'utente all'assimilazione, seppure al momento intuitiva, del procedimento logico su cui si basa il principio di induzione analizziamo nei dettagli l'evento della caduta a catena delle tessere da domino. Supponiamo di dover far cadere tutti i pezzi di domino formanti una lista infinita di tessere disposte una di seguito all'altra, in modo tale che la loro distanza sia strettamente maggiore della loro altezza, così come illustrato in figura 2

In tal caso, affinchè si verichi la caduta delle tessere, dovremo farle cadere una alla volta. Se invece disponiamo i pezzi del domino in modo tale che la loro distanza sia minore (tralasciamo il case limite in cui la distanza sia perfettamente uguale alla loro altezza) della loro altezza, allora la caduta verso destra di uno dei pezzi determinerà la caduta del pezzo ad esso adiacente, e così via fino a determinare la caduta di tutti i pezzi, così come mostrato in Figura 1.
Si può, dunque, concludere che, nel primo esempio, ossia quello mostrato in Figura 2, la proprietà cadere verso destra non è induttiva, infatti in tali circostanze la validità della proprietà per la prima tessera non induce la validità anche per la seconda, per la terza e così via; nel secondo esempio, invece, la medesima proprietà è induttiva, poichè al verificarsi di essa per la prima tessera segue la validità della medesima proprietà per la seconda tessera e così via per le successive. Ma non solo, se a cadere non è la prima tessera ma ad esempio la sesta cadranno tutte le tessere ad essa successive così come illustra la Figura 3.
In definitiva sembra chiaro che affinchè una proprietà sia induttiva si deve dimostrare che la relativa validità passi da un numero qualunque al successivo.
Osservazione riflessiva: L'esperienza descritta mette in luce i seguenti fatti:

1)

ha senso, almeno per la nostra mente, pensare ad insiemi costituiti da infiniti oggetti, che in qualche modo si possano contare anche se occorre formalizzare matematicamente questo concetto intuitivo;

2)

ha senso "matematicamente" il concetto di numero precedente e di numero successivo... di qui la necessità di introdurre rigorosamente la nozione di insiemi numerici e di "operare" con questi numeri;

3)

in un tale insieme sembra bastare il saper verificare una proprietà per il primo elemento dell'insieme, e il sapere che verificata per un elemento allora la si possa verificare per il successivo, consente di stabilire che la proprietà è "definitivamente" verificata (saper aprire la prima porta e sapere che in ogni stanza aperta c'è la chiave per aprire la porta successiva consente di poter aprire tutte le porte, così sapere che la decomposizione vale per la prima delle figure assegnate, consente di concludere che essa valga per tutte le figure così ottenute). A questo procedimento si dà il nome di principio di induzione .