Caratterizzazione Diagonalizzazione
Valgono per matrici (ed endomorfismi) diagonalizzabili alcune caratterizzazioni che andiamo ad elencare.Proposizione
Sia 
e sia 
è diagonalizzabile se e solo se 
possiede una base di autovettori.
e sia è diagonalizzabile se e solo se possiede una base di autovettori. Dimostrazione
Se 
è diagonalizzabile, allora esiste una base 
di 
tale che rispetto a 
è rappresentata da una matrice diagonale:
è diagonalizzabile, allora esiste una base di tale che rispetto a è rappresentata da una matrice diagonale: 
Per definizione di matrice rappresentatrice di 
in 
, la colonna j-esima 
di 
è il vettore delle componenti di 
(
) in 
cioè 
(
(
))=(
,
,...,
,...,
)
Per definizione di componenti, 
da cui 
è autovettore.
in , la colonna j-esima di è il vettore delle componenti di () in cioè (())=(,,...,,...,) Per definizione di componenti, da cui è autovettore. Quindi 
è costituita da autovettori.
è costituita da autovettori. Viceversa, se 
è costituita da autovettori, allora 
e cioè la matrice che rappresenta 
in 
è diagonale.
è costituita da autovettori, allora e cioè la matrice che rappresenta in è diagonale. Proposizione
Siano 
autovalori distinti di 
(o di 
), 
è diagonalizzabile se e solo se
autovalori distinti di (o di ), è diagonalizzabile se e solo se (1)
ha 
autovettori linearmente indipendenti (2)
(3)
. 
e 
si riscrivono come: · 
ha 
autovettori linearmente indipendenti
ha autovettori linearmente indipendenti · 
.
. Osservazione
La matrice P che diagonalizza A ha per colonne i vettori dell'insieme 
=
dove con 
indichiamo una base di autovettori dell' autospazio V
. Si osservi che, dalla proposizione ciao, si ha che 
contiene esattamente 
vettori. La matrice 
diagonale ha come elementi sulla diagonale gli autovalori di 
ripetuti tante volte quant'è la loro molteplicità.
= dove con indichiamo una base di autovettori dell' autospazio V. Si osservi che, dalla proposizione ciao, si ha che contiene esattamente vettori. La matrice diagonale ha come elementi sulla diagonale gli autovalori di ripetuti tante volte quant'è la loro molteplicità. 
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