Matrici Determinante

Diamo la definizione di determinante di per induzione sulla dimensione di

Definizione 2.4.1

Sia una matrice quadrata, il determinante di , indicato con o con , è il numero reale definito come segue:

• Se è di ordine , si ha:
  
• Se , si ha:
  
• Se è di ordine , si ha:
  dove è la matrice ottenuta da cancellando la prima riga e la -esima colonna.
  

Riportiamo di seguito la cosiddetta regola di Sarrus per calcolare in modo alternativo il determinante di una matrice di ordine 3.

Definizione 2.4.2

Sia una matrice quadrata di ordine : Si ha

Data la matrice un metodo pratico per ricordare la regola di Sarrus è utile considerare la seguente matrice:


Per calcolare il determinante basta sommare i prodotti degli elementi delle diagonali principali e sottrarre i prodotti degli elementi delle diagonali secondarie.

Teorema 2.4.3

(Laplace) Data una matrice di ordine , scelta una qualsiasi riga , si ha Inoltre, scelta una colonna si ha

Osservazione 2.4.4

L'elemento viene detto complemento algebrico o aggiunto di e indicato con .

Teorema 2.4.5

(II Teorema di Laplace) In ogni matrice quadrata è nulla la somma dei prodotti degli elementi di un riga (colonna) per gli aggiunti dei corrispondenti elementi di un'altra riga (o colonna) cioè

Osservazione 2.4.6

Una formulazione unificata dei due teoremi di Laplace è la seguente.

In ogni matrice quadrata , fissati due indici di riga (o di colonna) , vale:dove e viene detto simbolo di Kronecker.

Proposizione 2.4.7

Riportiamo alcune proprietà principali dei determinanti.

Proposizione 2.4.8

Siano e un elemento di , si ha:

• 
  
• se ha due righe o due colonne proporzionali, allora
  
• se in si scambiano tra loro due righe (colonne), si ottiene una matrice tale che
  
• se si ottiene da moltiplicando tutti gli elementi di una riga (colonna) di per , si ha:
  
• se è ottenuta da aggiungendo ad una riga (colonna) un multiplo di un'altra riga (colonna), allora
  

Proposizione 2.4.9

Il determinante di una matrice triangolare superiore (inferiore) è uguale al prodotto degli elementi della diagonale. Lo stesso risultato vale per matrici diagonali.

Proposizione 2.4.10

Data una matrice e indicata con la forma a scalini di , si ha: , dove vale il segno se per trasformare in sono stati effettuati un numero pari di scambi di riga o di colonna, mentre vale il segno se sono stati effettuati un numero dispari di scambi.