determinante di una matrice quadrata. Regola di Sarrus

» Definizione di matrice Un insieme di numeri ordinati secondo righe e colonne è detto matrice di ordine m x n, ove m è il numero delle righe e n il numero delle colonne. Una matrice si dice quadrata se . Il generico elemento della matrice  si indica con . Esso occupa la posizione individuata dall'intersezione tra la i-esima riga e la j-esima colonna della matrice. , con  La teoria dei DETERMINANTI è stata sviluppata per poter risolvere i sistemi di equazioni lineari e trovare l'inversa di una matrice quadrata. Per questo fine è stato necessario associare ad ogni matrice quadrata un valore numerico. Tale numero è il determinante della matrice. Ad ogni matrice quadrata A di ordine n può essere associato un numero che si chiama il suo determinante e si indica con det A.

» Determinante di matrici quadrate del secondo ordineIl determinante di una matrice quadrata del secondo ordine (2 righe e 2 colonne)  si calcola: Il determinante di una matrice quadrata del secondo ordine è uguale alla differenza dei prodotti degli elementi delle due diagonali (principale meno secondaria).

» Determinante di matrici quadrate del terzo ordine Il calcolo del determinante di una matrice quadrata del terzo ordine (3 righe e 3 colonne)  si sviluppa secondo gli elementi di una riga o di una colonna. Nell'esempio sviluppiamo secondo la prima riga. . Ogni elemento della prima riga viene moltiplicato con il suo MINORE COMPLEMENTARE, ovvero il determinante del secondo ordine ottenuto sopprimendo la prima riga e la prima colonna; i prodotti vengono poi sommati algebricamente tra loro considerando il segno positivo se la somma degli indici dell'elemento considerato è pari, o negativo se è dispari. Sviluppando i tre determinanti del secondo ordine, si ottiene: . È utile notare che il determinante di una matrice quadrata non cambia se lo sviluppo viene eseguito rispetto ad una qualsiasi altra riga (non solo la prima) o un'altra colonna.

Un secondo metodo per il calcolo dei determinanti del terzo ordine è indicato dalla REGOLA DI SARRUS.Per la sua applicazione è conveniente disporre, accanto alla matrice data, copia delle prime due colonne ed eseguire i prodotti indicati, presi in segno positivo seguendo le frecce rosse e negativi seguendo le frecce blu.

» Principali proprietài) il valore di un determinante non cambia se si scambiano le righe con le colonne: ii) lo scambio di due righe o di due colonne di un determinante equivale a cambiarne il segno, ovvero a moltiplicarlo per -1 : iii) moltiplicare tutti gli elementi di una riga o di una colonna per uno stesso numero k equivale a moltiplicare il determinante per k : iv) se tutti gli elementi di una riga o di una colonna sono nulli, il valore del determinante è nullo: