Definizione 7.2.1
Dato un elemento non nullo di , definiamo autospazio di e lo indichiamo con l'insieme costituito da tutti gli autovettori di e dal vettore nullo.
Proposizione 7.2.2
L'insieme è un sottospazio vettoriale di .
Dim.
Proviamo che è chiuso rispetto alla somma.
Siano autovettori relativi a . Si ha e da cui e quindi è autovettore relativo a .
Inoltre, per l'osservazione precedente, è chiuso anche rispetto al prodotto per uno scalare.
Proposizione 7.2.3
Valgono le seguenti proprietà relative agli autospazi:
- Se sono autovalori distinti di risulta
, quindi la somma è diretta.
- Siano autovettori associati ad autovalori distinti di allora sono linearmente indipendenti.
- Siano autovalori distinti di e siano
basi rispettivamente di , allora è linearmente indipendente, quindi è base di
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