Proposizione 4.7.1
Dato uno spazio vettoriale 
di dimensione 
, un insieme di 
vettori, 
, linearmente indipendenti è una base.
di dimensione , un insieme di vettori, , linearmente indipendenti è una base. Osservazione 4.7.2
Un insieme di vettori linearmen- te indipendenti non può contenere sottoinsiemi di vettori linearmente dipendenti.
Infatti sia 
un insieme di vettori linearmente indipendenti. Sia 
con 
un insieme di vettori lineramente dipendenti, allora esistono 
non tutti nulli tali che 
da cui segue che 
è lineramente dipendente e ciò contrasta con le ipotesi.
un insieme di vettori linearmente indipendenti. Sia con un insieme di vettori lineramente dipendenti, allora esistono non tutti nulli tali che da cui segue che è lineramente dipendente e ciò contrasta con le ipotesi. Osservazione 4.7.3
Un insieme di vettori linearmen- te dipendenti può contenere sottoinsiemi di vettori che sono linearmente indipendenti.
è linearmente dipendente ma 
è linearmente indipendente. Osservazione 4.7.4
Il vettore nullo è linearmente dipendente poichè 
. Dall'osservazione oss 4.2.14 si deduce che il vettore nullo non può far parte di un insieme linearmente indipendente. In particolare, 
non può appartenere a una base.
. Dall'osservazione oss 4.2.14 si deduce che il vettore nullo non può far parte di un insieme linearmente indipendente. In particolare, non può appartenere a una base. Proposizione 4.7.5
è una base di uno spazio vettoriale 
sul campo 
se e solo se 
è un sistema massimale di vettori linearmente indipendenti. Dim.
Per provare la condizione sufficiente bisogna dimostrare che 
genera 
Sia 
genera Sia Se 
. Se 
è linearmente dipendente allora esistono 
non tutti nulli in 
tali che 
Se fosse 
, allora si avrebbe
. Se è linearmente dipendente allora esistono non tutti nulli in tali che Se fosse , allora si avrebbe 
con qualche 
che è assurdo perchè 
è linearmente indipendente. Allora dev'essere 
Dim.
Supponiamo per assurdo che esista 
tale che 
generi 
Allora 
tale che 
è generato da 
, per cui 
è lineramente dipendente, ma 
che è linearmente indipendente.
tale che generi Allora tale che è generato da , per cui è lineramente dipendente, ma che è linearmente indipendente. Viceversa, supponiamo per assurdo che 
sia linear- mente dipendente, quindi esistono 
non tutti nulli tali che 
Supponendo che 
si ha
.
Ponendo
abbiamo 
. Sia 
Risulta 
cioè 
è generato da 
, contro l'ipotesi.
sia linear- mente dipendente, quindi esistono non tutti nulli tali che Supponendo che si ha . Ponendo
abbiamo . Sia Risulta cioè è generato da , contro l'ipotesi. Proposizione 4.7.7
Sia 
uno spazio vettoriale di dimensione 
Se 
è un sistema di vettori linearmente indipendenti allora B è una base.
uno spazio vettoriale di dimensione Se è un sistema di vettori linearmente indipendenti allora B è una base. Dim.
Osservazione 4.7.8
Ogni insieme di vettori linearmenti indipendenti può essere completato a una base. Ad esempio i vettori 
e 
sono linearmente indipendenti. Aggiungendo ad essi i vettori 
otteniamo una base di 
e sono linearmente indipendenti. Aggiungendo ad essi i vettori otteniamo una base di Da ogni sistema di generatori è possibile estrarre una base, prendendo il massimo insieme linearmente indipendente in esso contenuto.
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