Definizione 4.8.1
Sia 
uno spazio vettoriale sul cam- po 
Un sottoinsieme 
si dice sottospazio vettoriale di 
se è chiuso rispetto alle operazioni di somma e prodotto per uno scalare definite su 
, ovvero
uno spazio vettoriale sul cam- po Un sottoinsieme si dice sottospazio vettoriale di se è chiuso rispetto alle operazioni di somma e prodotto per uno scalare definite su , ovvero 
Osservazione 4.8.2
è un sottospazio vettoriale se e solo se contiene tutte le combinazioni lineari di suoi elementi. 
ha dimensione finita e 
è un suo sottospazio, allora dim
e l'uguaglianza vale se e solo se 
Se
sono vettori di 
, l'insieme di tutte le possibili combinazioni lineari di tali vettori costituisce un sottospazio vettoriale detto sottospazio generato da 
e indicato con 
. Esempio 4.8.3
Riportiamo alcuni esempi di sottospazi vettoriali:
- Il sottoinsieme
- Il sottoinsieme
- Il sottoinsieme
- Il sottoinsieme
.
Esempio 4.8.4
Riportiamo alcuni esempi di sottoinsiemi di spazi vettoriali che non sono sottospazi:
-
-
-
.
Osservazione 4.8.5
Un qualsiasi sottoinsieme di uno spazio vettoriale che non contenga il vettore nullo non è sottospazio vettoriale. Infatti se 
allora anche 
deve appartenere a 
Si deduce che l'appartenenza del vettore nullo a 
è condizione necessaria perchè 
sia sottospazio vettoriale.
allora anche deve appartenere a Si deduce che l'appartenenza del vettore nullo a è condizione necessaria perchè sia sottospazio vettoriale. 
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