definizioni matrici

Definizione 2.1.1

Si definisce matrice di numeri reali di tipo una tabella a doppia entrata con righe ed colonne:

L'insieme delle matrici a valori in di tipo viene denotato con . Le matrici si indicano con lettere maiuscole dell'alfabeto. Si indica con il generico elemento della matrice individuato dalla riga e dalla colonna .

Le -ple , , ecc. sono dette righe o vettori riga della matrice e si denotano con , se la matrice ha righe.

Le -ple di numeri reali , ecc. si dicono colonne o vettori colonna della matrice e si indicano con , se la matrice ha colonne.

Una matrice si dice quadrata se essa è costituita dallo stesso numero di righe e di colonne, ovvero se . Ia questo caso si dice matrice quadrata di ordine . L'insieme delle matrici quadrate di ordine a valori in viene denotato con .

Osservazione 2.1.2

Una matrice che abbia un indice di riga (risp. di colonna ) per cui tutti gli elementi (risp. ) siano nulli si dice che ha la riga -esima nulla (risp. la colonna - esima nulla).

Esempio 2.1.3

La matrice è una matrice di tipo . L'elemento è l'elemento nella prima riga e nella terza colonna, ovvero .

La matrice è una matrice quadrata di ordine .

Definizione 2.1.4 (Diagonale principale di una matrice)

Se è una matrice quadrata di ordine , si definisce diagonale principale la -upla .

Esempio 2.1.5

La diagonale principale della matrice dell'esempio 2.1.3 è .

Definizione 2.1.6 (Sottomatrice di una matrice )

Data una matrice di tipo , e siano , , si definisce sottomatrice di di tipo ogni matrice che si ottiene da cancellando righe ed colonne.

Definizione 2.1.7 (Uguaglianza tra matrici)

Due matrici e si dicono uguali se hanno lo stesso numero di righe e di colonne e se , per e .

Definizione 2.1.8 (Trasposta di una matrice)

Data la matrice di tipo , si definisce trasposta di e si indica con la matrice di tipo che si ottiene convertendo ogni riga di in una colonna di o equivalentemente ogni colonna di in una riga di . Se denotiamo con gli elementi di , si ha , per ogni , e . Evidentemente si ha .

Esempio 2.1.9

Data la matrice la sua trasposta è

Definizione 2.1.10 (Matrice simmetrica)

La matrice quadrata si dice simmetrica se . In una matrice simmetrica si ha per e per .

Esempio 2.1.11

La matrice è una matrice simmetrica.

Definizione 2.1.12 (Matrice Antisimmetrica)

La matrice quadrata si dice antisimmetrica se . Risulta per e per . Ne segue che gli elementi sulla diagonale principale sono tutti nulli, i.e. per ogni .

Esempio 2.1.13

La matrice è antisimmetrica, di tipo .

Definizione 2.1.14 (Matrici triangolari)

La matrice quadrata si dice triangolare inferiore se gli elementi al di sopra della diagonale principale sono nulli, ovvero per . La matrice quadrata si dice triangolare superiore se gli elementi al di sotto della diagonale principale sono nulli, ovvero per .

Esempio 2.1.15

La matrice è una matrice triangolare inferiore.

La matrice è una matrice triangolare superiore.

Definizione 2.1.16 (Matrice diagonale)

La matrice quadrata si dice diagonale se per ogni elemento al di fuori della diagonale principale, ovvero per ogni .

Esempio 2.1.17

La matrice è una matrice diagonale.

Definizione 2.1.18 (Matrice identica)

Si definisce matrice identica di ordine e si indica con o con , la matrice quadrata che ha , per ogni e per ogni .

Esempio 2.1.19

Definizione 2.1.20 (Matrice nulla)

Si definisce matrice nulla di tipo se si indica con , la matrice che ha tutti gli elementi nulli , per e .

Esempio 2.1.21

è una matrice nulla di tipo

Osservazione 2.1.22 (facoltativa)

Le matrici quadrate nulla e identica sono particolari matrici diagonali.