Diagonalizzazione Endomorfismi

Sia uno spazio vettoriale di dimensione sul campo e un'applicazione lineare di in sè.

Definizione 7.9.1

Un vettore non nullo di è detto autovettore di se esiste un elemento di : Lo scalare è detto autovalore di relativo ad

Definizione 7.9.2

Un elemento è detto autovalore di se tale che cioè se esiste un autovettore di tale che sia l'autovalore associato a . Il vettore è detto un autovettore di relativo all'autovalore

 

Esempio 7.9.3

Sia e Osserviamo che per cui ogni vettore di è autovettore relativo a e è l'unico autovalore di

 

Definizione 7.9.4

Se è un autovalore di , denotiamo con l' autospazio relativo all'autovalore

è sottospazio vettoriale di e la sua dimensione, indicata con viene detta molteplicità geometrica dell'autovalore

Proposizione 7.9.5

autovalore di risulta e se .

Fissiamo una base di . Allora, se e si ha con e la matrice di ordine rappresentativa di rispetto a . Un autovettore di è un vettore non nullo tale che e quest'ultima relazione è vera se e solo se le coordinate di soddisfano la relazione
Si ha quindi che un elemento è autovalore di se e solo se il sistema lineare omogeneo ammette soluzioni non banali, se e solo se

Allora risulta evidente la seguente:

Proposizione 7.9.6

Sia uno spazio vettoriale di dimensione e un endomorfismo.
Sia matrice associata a rispetto a una base Valgono le seguenti proprietà:

• gli autovalori di sono gli autovalori di
  
• il vettore è un autovettore di corrispondente all'autovalore se e solo se è un autovettore di associato a
  

Proposizione 7.9.7

Se e sono matrici di uno stesso endomorfismo di risulta:

Osservazione 7.9.8

Dalle proposizioni precedenti segue che tutto quanto riguarda autovalori ed autovettori di matrici può essere rivisto in termini di endomorfismi, quindi tutti i risultati visti nel caso delle matrici valgono anche per gli endomorfismii.

Osservazione 7.9.9

Osserviamo che le matrici di cui alla proposizione precedente sono intese come matrici rappresentative di rispetto a una stessa base presa nel dominio e nel codominio, altrimenti la proposizione è falsa. Infatti sia La matrice rappresentativa di rispetto alla base canonica è Si ha che La matrice di rispetto alla base e alla base canonica è Osserviamo che mentre la matrice rispetto a presa nel dominio e nel codominio è e

 

Definizione 7.9.10

Se è uno spazio vettoriale di dimensione ed è un endomorfismo di allora si dice diagonalizzabile se esiste una base di tale che la matrice rappresentativa di rispetto a è una matrice diagonale.

Osservazione 7.9.11

Un endomorfismo è diagonaliz- zabile se tale è la matrice che lo rappresenta rispetto ad una fissata base.

Proposizione 7.9.12

Sia e sia è diagonalizzabile se e solo se possiede una base di autovettori.

Dim.

Se è diagonalizzabile, allora esiste una base di tale che rispetto a è rappresentata da una matrice diagonale:

Per definizione di matrice rappresentatrice di in , la colonna j-esima di è il vettore delle componenti di () in cioè (())=(,,...,,...,) Per definizione di componenti, da cui è autovettore.

Quindi è costituita da autovettori.

Viceversa, se è costituita da autovettori, allora e cioè la matrice che rappresenta in è diagonale.

Definizione 7.9.13

Sia uno spazio euclideo reale di dimensione finita Un endomorfismo si dice ortogonalmente diagonalizzabile se esiste una base ortonormale di tale che la matrice di in sia diagonale.

Osservazione 7.9.14

Osserviamo che, poichè la matrice di in è diagonale se e solo se è fatta di autovettori, allora possiamo dire che è ortogonalmente diagonalizzabile se e solo se esiste una base ortonormale costituita da autovettori.

Definizione 7.9.15

Un endomorfismo si dice simmetrico se e solo se gode della seguente proprietà (rispetto al prodotto scalare):

Esempio 7.9.16

Consideriamo in il prodotto scalare canonico e sia l'endomorfismo definito da

Siano e allora

.

da cui per generici simmetrico.

Osservazione 7.9.17

Si prova che un endomorfismo è simmetrico se e solo se la matrice che lo rappresenta rispetto ad una base ortogonale è simmetrica. La matrice dell'endomorfismo di dell'esempio precedente rispetto alla base canonica è data da

Essendo quest'ultima simmetrica si ha che è simmetrico.

Possiamo ora dimostrare il seguente:

Teorema 7.9.18

Spettrale Un endomorfismo f:VV è ortogonalmente diagonalizzabile se e solo se è simmetrico.