domenica 6 marzo 2011

ESE_DI-DiagMTConOrt_4


Esercizio

Si consideri la matrice
MATH
Dire se è diagonalizzabile e/o ortogonalmente diagonalizzabile e, in caso affermativo, calcolare la matrice $P$ di diagonalizzazione.



Soluzione

Calcoliamo gli autovalori di $A$:
MATH
Cerchiamo le radici tra i divisori del termine noto. Abbiamo:
MATH
Applicando la regola di Ruffini abbiamo:
MATH
le cui radici sono $\lambda =2$ e $\lambda =6$ con $m_{a}(2)=2$ e $m_{a}(6)=1$. Dato che la somma delle molteplicità algebriche è 3, per la diagonalizzazione basta controllare che tutti gli autovalori abbiano moltelicità geometrica uguale a quella algebrica.
Per $\lambda =2$ risulta
MATH
quindi MATH.
Per $\lambda =6$ risulta
MATH
quindi MATH.
In virtù del teorema di caratterizzazione della diagonalizzazione, possiamo concludere che $\varphi $ è diagonalizzabile.
Andiamo ora a calcolare gli autospazi.
L'autospazio $V_{2}$ è rappresentato da
MATH
che equivale a
MATH
le cui soluzioni sono date da


MATH. Una base di $V_{2}$ si ottiene dando a $y$ e $z$ alternativamente i valori $1,0$ e $0,1$, avendo così
MATH
Per $\lambda =6$, l'autospazio è rapresentato dal sistema
MATH
le cui soluzioni sono date da
MATH
cioé MATH e una sua base è MATH.
La matrice $P$ di diagonalizzazione è la matrice che ha per colonne i vettori delle basi trovate:
MATH

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