ESE_DI-DiagMTConOrt_3

Esercizio

Dato l'endomorfismo di rappresentato dalla matrice

dire se è diagonalizzabile e/o ortogonalmente diagonalizzabile.



Soluzione

La trasposta di è

Siccome , la matrice non è simmetrica, pertanto, in virtù del teorema spettrale, non è ortogonalmente diagonalizzabile.
Andiamo ora a vedere se è almeno diagonalizzabile. Calcoliamo gli autovalori, considerando l'equazione caratteristica
L'equazione caratteristica è
L'endomorfismo ha quindi solo l'autovalore di molteplicità algebrica 3.
Pertanto si ha

ovvero ha su esattamente tre autovalori (contati con la loro molteplicità).
In virtù del teorema di caratterizzazione della diagonalizzazione, resta da verificare che la molteplicità algebrica dell'autovalore 1 coincida con quella geometrica. Ricordiamo che dato che

Pertanto e possiamo concludere che non è diagonalizzabile.