Esercizio
Data la matrice
dire se è diagonalizzabile e/o ortogonalmente diagonalizzabile.
Soluzione
Innanzitutto andiamo a vedere se la matrice
è simmetrica, quindi dobbiamo vedere se è uguale alla sua trasposta 
che si ottiene da 
scambiando righe con colonne: 
Poiché
, la matrice 
non è simmetrica, pertanto, in virtù del teorema spettrale, 
non è ortogonalmente diagonalizzabile. Andiamo ora a vedere se è almeno diagonalizzabile. Calcoliamo gli autova-lo-ri, considerando l'equazione caratteristica
Sviluppando il determinante con la regola di Laplace applicata alla terza riga, si ha
Gli autovalori di
sono quindi 
e 
. Osserviamo che quest'ultima radice viene fuori da 
, quindi la sua moltelicità algebrica è 2, mentre la molteplicità algebrica dell'autovalore 1 è 1. Pertanto si ha 
ovvero
ha su 
esattamente tre autovalori (contati con la loro molteplicità). In virtù del teorema di caratterizzazione della diagonalizzazione, resta da verificare che per entrambi gli autovalori, la molteplicità algebrica coincida con quella geometrica.
Ricordiamo che la molteplicità geometrica di un autovalore è la dimensione del corrispondente autospazio, perciò si ha
e 
Poiché la matrice
ha un minore di ordine 2 diverso da zero 
si ha 
e quindi 
. Per l'autovalore 0 non vale l'uguaglianza tra molteplicità geometrica e algebrica, e per il teorema sopra citato possiamo concludere che la matrice data non è diagonalizzabile. 
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