Proposizione 7.8.1 
possiede 
autovalori reali (contati con la loro molteplicità); 
se 
è un autovalore di 
allora 
se 
e 
sono due autovalori distinti di 
, allora gli autospazi ad essi associati sono tra loro ortogonali, cioè 
Possiamo ora dimostrare il seguente: Sia 
una matrice reale simmetrica di ordine n. Allora
una matrice reale simmetrica di ordine n. Allora possiede autovalori reali (contati con la loro molteplicità); se è un autovalore di allora se e sono due autovalori distinti di , allora gli autospazi ad essi associati sono tra loro ortogonali, cioè Teorema 7.8.2
(Spettrale) Un endomorfismo f:V
V è ortogonalmente diagonalizzabile se e solo se 
è simmetrico (o equivalentemente, in versione matriciale, una matrice 
reale di ordine 
è ortogonalmente diagonalizzabile se e solo se 
è simmetrica).
V è ortogonalmente diagonalizzabile se e solo se è simmetrico (o equivalentemente, in versione matriciale, una matrice reale di ordine è ortogonalmente diagonalizzabile se e solo se è simmetrica). Dim.
Supponiamo che 
sia ortogonalmente diagonalizzabile. Per definizione esiste una base ortonormale 
di 
tale che la matrice associata ad 
sia diagonale. Una matrice diagonale è simmetrica per cui 
è simmetrico (per la relazione tra un endomorfismo e la sua matrice rappresentativa).
sia ortogonalmente diagonalizzabile. Per definizione esiste una base ortonormale di tale che la matrice associata ad sia diagonale. Una matrice diagonale è simmetrica per cui è simmetrico (per la relazione tra un endomorfismo e la sua matrice rappresentativa). Viceversa, sia 
simmetrico. Allora, fissata una base ortonormale 
la matrice 
rappresentativa di 
rispetto a 
è simmetrica. Le condizioni (1) e (2) della proposizione ci dicono che allora tutti gli autovalori di 
(quindi di 
) sono reali, diciamoli 
con molteplicità algebrica uguale a quella geometrica ed 
risulta diagonalizzabile. Pertanto 
ha una base di autovettori di 
data da 
, dove 
è una base di 
In particolare, se prendiamo 
ortonormale, allora la (3) della proposizione ci assicura che l'unione delle 
è una base ortonormale di 
fatta di autovettori da cui segue che è ortogonalmente diagonalizzabile.
simmetrico. Allora, fissata una base ortonormale la matrice rappresentativa di rispetto a è simmetrica. Le condizioni (1) e (2) della proposizione ci dicono che allora tutti gli autovalori di (quindi di ) sono reali, diciamoli con molteplicità algebrica uguale a quella geometrica ed risulta diagonalizzabile. Pertanto ha una base di autovettori di data da , dove è una base di In particolare, se prendiamo ortonormale, allora la (3) della proposizione ci assicura che l'unione delle è una base ortonormale di fatta di autovettori da cui segue che è ortogonalmente diagonalizzabile. Osservazione 7.8.3
La matrice 
ortogonale che diagonalizza ortogonalmente 
ha per colonne i vettori della unione 
B
, con 
base ortonormale dell' autospazio 
La matrice 
ha sulla diagonale gli autovalori di 
ripetuti tante volte quant'è la loro molteplicità.
ortogonale che diagonalizza ortogonalmente ha per colonne i vettori della unione B, con base ortonormale dell' autospazio La matrice ha sulla diagonale gli autovalori di ripetuti tante volte quant'è la loro molteplicità. 
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