venerdì 4 marzo 2011

ESE_SL-Gauss_3


Esercizio
Risolvere il seguente sistema MATH
Soluzione
La matrice completa del sistema è MATHApplichiamo il metodo di eliminazione di Gauss, riducendo dapprima a scalini la matrice $A^{\prime }$. Il pivot della prima riga si trova nella posizione $(1,1)$ e vale $2$. Vogliamo azzerare quindi nella prima colonna tutti gli elementi sotto il pivot. Per far questo, effettuiamo le seguenti operazioni sulla seconda e terza riga di $A^{^{\prime }}$:MATH MATHVolendo eliminare le frazioni, andiamo ad effettuare le ulteriori operazioni: MATH MATHOsserviamo che allo stesso risultato potevamo giungere effettuando direttamente su $A^{\prime }$ le operazioni MATH, ovvero eliminando le frazioni direttamente nelle regole di trasformazione sulle righe.
A questo punto passiamo a considerare il pivot della seconda riga, che si trova nella posizione $(2,2)$ e vale $-7$. Vogliamo azzerare l'elemento in terza riga che si trova sotto il pivot. Operiamo quindi sulla terza riga come segue: MATH, ottenendo MATH
La matrice ottenuta è in forma a scalini. Se chiamiamo $S$ la matrice costituita dalle prime quattro colonne di $S^{\prime }$, corrispondente alla forma a scalini della matrice dei coefficienti del sistema di partenza, e ricordando che in una matrice a scalini il rango è il numero delle sue righe non nulle, abbiamo che MATHpari esattamente al numero parametri del sistema, quindi il sistema dato è compatibile, con un'unica soluzione, ed equivalente a MATHSstituendo a ritroso a partire dall'ultima equazione, abbiamo immediatamente $z=-2$, che sostituto nella seconda equazione dà $-7y=-5+26$ da $y=-3$, e infine sostituendo i valori di $y$ e $z$ nella prima equaione si ha $2x=5+3-6$ ovvero $x=1$. In definitiva l'unica soluzione del sistema è:MATH


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