Esercizio
Risolvere il seguente sistema 
Soluzione
La matrice completa del sistema è 
Applichiamo il metodo di eliminazione di Gauss, riducendo dapprima a scalini la matrice 
. Il pivot della prima riga si trova nella posizione 
e vale 
. Vogliamo azzerare quindi nella prima colonna tutti gli elementi sotto il pivot. Per far questo, effettuiamo le seguenti operazioni sulle righe di 
: 
, ottenendo 
A questo punto passiamo a considerare il pivot della seconda riga, che si trova nella posizione 
e vale 
. Vogliamo azzerare l'elemento in terza riga che si trova sotto il pivot. Operiamo quindi sulla terza riga come segue:
, ottenendo 
La matrice ottenuta è in forma a scalini. Se chiamiamo 
la matrice costituita dalle prime quattro colonne di 
, corrispondente alla forma a scalini della matrice dei coefficienti del sistema di partenza, e ricordando che in una matrice a scalini il rango è il numero delle sue righe non nulle, abbiamo che 
(numero parametri del sistema), possiamo concludere che il sistema dato ha 
soluzioni. Osserviamo che l'annullamento della terza riga indica che la terza equazione di partenza è linearmente dipendente dalle prime due, pertanto non aggiunge alcuna soluzione al sistema e perciò può essere eliminata. Il sistema ridotto che si ottiene in corrispondenza di 
è: 
Come visto sopra, le soluzioni sono esprimibili in funzione di due parametri che, ricordiamo, vanno scelti in corrispondenza delle colonne che non contengono pivot. Nel nostro caso poniamo 
,
e si ha 
L'ultima equazione ci dà direttamente il valore di 
in funzione dei parametri scelti, che sostituito nella prima equazione dà 
.
Applichiamo il metodo di eliminazione di Gauss, riducendo dapprima a scalini la matrice . Il pivot della prima riga si trova nella posizione e vale . Vogliamo azzerare quindi nella prima colonna tutti gli elementi sotto il pivot. Per far questo, effettuiamo le seguenti operazioni sulle righe di : , ottenendo A questo punto passiamo a considerare il pivot della seconda riga, che si trova nella posizione e vale . Vogliamo azzerare l'elemento in terza riga che si trova sotto il pivot. Operiamo quindi sulla terza riga come segue:, ottenendo La matrice ottenuta è in forma a scalini. Se chiamiamo la matrice costituita dalle prime quattro colonne di , corrispondente alla forma a scalini della matrice dei coefficienti del sistema di partenza, e ricordando che in una matrice a scalini il rango è il numero delle sue righe non nulle, abbiamo che (numero parametri del sistema), possiamo concludere che il sistema dato ha soluzioni. Osserviamo che l'annullamento della terza riga indica che la terza equazione di partenza è linearmente dipendente dalle prime due, pertanto non aggiunge alcuna soluzione al sistema e perciò può essere eliminata. Il sistema ridotto che si ottiene in corrispondenza di è: Come visto sopra, le soluzioni sono esprimibili in funzione di due parametri che, ricordiamo, vanno scelti in corrispondenza delle colonne che non contengono pivot. Nel nostro caso poniamo , e si ha L'ultima equazione ci dà direttamente il valore di in funzione dei parametri scelti, che sostituito nella prima equazione dà . Pertanto le 
soluzioni al variare dei parametri 
e 
in 
sono descritte dalle quaterne 
soluzioni al variare dei parametri e in sono descritte dalle quaterne 
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