Esercizio
Risolvere il seguente sistema 
Soluzione
La matrice ottenuta è in forma a scalini. Se chiamiamo 
la matrice costituita dalle prime quattro colonne di 
, corrispondente alla forma a scalini della matrice dei coefficienti del sistema di partenza, e ricordando che in una matrice a scalini il rango è il numero delle sue righe non nulle, abbiamo che 
(numero parametri del sistema), possiamo concludere che il sistema dato ha 
soluzioni. Ricordiamo che la scelta del parametro che serve a descrivere l'insieme delle soluzioni va fatta prendendo come parametro la variabile corrispondente alla colonna che non contiene pivot, cioè nel nostro caso la 
. Pertanto il sistema ridotto che si ottiene è:
che si risolve per sostituzione a ritroso. A partire dall'ultima equazione si ottiene immediatamente
Sostituiamo nella seconda equazione ottenendo
e sostutendo sia
sia 
nella prima equazione si ha
che portano alle
soluzioni 
La matrice completa del sistema è 
Applichiamo il metodo di eliminazione di Gauss, riducendo dapprima a scalini la matrice
. Il pivot della prima riga si trova nella posizione 
e vale 
. Vogliamo azzerare quindi nella prima colonna tutti gli elementi sotto il pivot. Per far questo, effettuiamo le seguenti operazioni sulle righe di 
. Nel caso in esame l'unico elemento da azzerare è nella posizione 
quindi andiamo a operare sulla terza riga come segue: 
Applichiamo il metodo di eliminazione di Gauss, riducendo dapprima a scalini la matrice
. Il pivot della prima riga si trova nella posizione e vale . Vogliamo azzerare quindi nella prima colonna tutti gli elementi sotto il pivot. Per far questo, effettuiamo le seguenti operazioni sulle righe di . Nel caso in esame l'unico elemento da azzerare è nella posizione quindi andiamo a operare sulla terza riga come segue: A questo punto passiamo a considerare il pivot della seconda riga, che si trova nella posizione 
e vale 
. Vogliamo azzerare l'elemento in terza riga che si trova sotto il pivot. Operiamo quindi sulla terza riga come segue:
e vale . Vogliamo azzerare l'elemento in terza riga che si trova sotto il pivot. Operiamo quindi sulla terza riga come segue: La matrice ottenuta è in forma a scalini. Se chiamiamo la matrice costituita dalle prime quattro colonne di , corrispondente alla forma a scalini della matrice dei coefficienti del sistema di partenza, e ricordando che in una matrice a scalini il rango è il numero delle sue righe non nulle, abbiamo che (numero parametri del sistema), possiamo concludere che il sistema dato ha soluzioni. Ricordiamo che la scelta del parametro che serve a descrivere l'insieme delle soluzioni va fatta prendendo come parametro la variabile corrispondente alla colonna che non contiene pivot, cioè nel nostro caso la . Pertanto il sistema ridotto che si ottiene è:che si risolve per sostituzione a ritroso. A partire dall'ultima equazione si ottiene immediatamente
Sostituiamo nella seconda equazione ottenendoe sostutendo sia
sia nella prima equazione si hache portano alle
soluzioni 
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