venerdì 4 marzo 2011

ESE_SL-Gauss_1


Esercizio
Risolvere il seguente sistema MATH
Soluzione
La matrice completa del sistema è MATH
Applichiamo il metodo di eliminazione di Gauss, riducendo dapprima a scalini la matrice $A^{\prime }$. Il pivot della prima riga si trova nella posizione $(1,1)$ e vale $2$. Vogliamo azzerare quindi nella prima colonna tutti gli elementi sotto il pivot. Per far questo, effettuiamo le seguenti operazioni sulle righe di $A^{^{\prime }}$. Nel caso in esame l'unico elemento da azzerare è nella posizione $(3,1)$ quindi andiamo a operare sulla terza riga come segue: MATH
A questo punto passiamo a considerare il pivot della seconda riga, che si trova nella posizione $(2,2)$ e vale $2$. Vogliamo azzerare l'elemento in terza riga che si trova sotto il pivot. Operiamo quindi sulla terza riga come segue:
MATHLa matrice ottenuta è in forma a scalini. Se chiamiamo $S$ la matrice costituita dalle prime quattro colonne di $S^{\prime }$, corrispondente alla forma a scalini della matrice dei coefficienti del sistema di partenza, e ricordando che in una matrice a scalini il rango è il numero delle sue righe non nulle, abbiamo che MATH (numero parametri del sistema), possiamo concludere che il sistema dato ha $\infty ^{1}$ soluzioni. Ricordiamo che la scelta del parametro che serve a descrivere l'insieme delle soluzioni va fatta prendendo come parametro la variabile corrispondente alla colonna che non contiene pivot, cioè nel nostro caso la $z$. Pertanto il sistema ridotto che si ottiene è:MATH
che si risolve per sostituzione a ritroso. A partire dall'ultima equazione si ottiene immediatamente $t=0.$Sostituiamo nella seconda equazione ottenendoMATH
e sostutendo sia $t$ sia $y$ nella prima equazione si haMATH
che portano alle $\infty ^{1}$ soluzioni MATH


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