SL-Metodo Di Gauss

Definizione 3.4.1 (Sistemi lineari equivalenti)

Due sistemi di equazioni lineari si dicono equivalenti se ammettono le stesse soluzioni.

Esempio 3.4.2

Ad esempio, risultano equivalenti i sistemi e che ammettono come unica soluzione .

Di seguito presentiamo alcune operazioni elementari che consentono di trasformare un dato sistema lineare in uno ad esso equivalente.

Definizione 3.4.3 (Operazioni elementari sulle equazioni di un sistema)

Le operazioni elementari sulle righe di un sistema sono:

• scambio di due equazioni;
  
• sostituzione di una equazione con una multipla di questa;
  
• sostituire un'equazione con la stessa a cui ne sia stata aggiunta una multipla di un'altra.
  

Osservazione 3.4.4

Tali operazioni elementari corrispondono ad operazioni elementari dello stesso tipo sulla matrice completa del sistema.

Esempio 3.4.5 

 Nel caso dell'esempio 3.4.2, il secondo sistema è ottenuto dal primo moltiplicando l'ultima equazione per lo scalare e sommando le due equazioni del primo dopo averle moltiplicate per lo scalare .

Teorema 3.4.6

Due sistemi lineari sono equivalenti se e solo se ogni equazione di uno può essere ottenuta dall'altro per mezzo di un numero finito di operazioni elementari. Le operazioni elementari sulle righe trasformano un sistema di equazioni lineari in un sistema equivalente, cioè non alterano l'insieme delle soluzioni.

Osservazione 3.4.7

E' importante osservare che le operazioni sulle righe di un sistema (cf. Definizione 3.4.3) non sono altro che operazioni elementari sulle righe della matrice del sistema .

Le operazioni elementari (cf. Definizione 3.4.3), consentono appunto di passare da ogni sistema lineare ad un sistema a scalini ad esso equivalente.

Dal momento che le operazioni elementari su di un sistema lineare non sono altro che operazioni elementari sulla matrice associata al sistema, due sistemi sono equivalenti (cf. Definizione 3.4.1) se e solo se le matrici rappresentative sono fra loro equivalenti.

Poiché ogni sistema è identificabile con la matrice che lo rappresenta si parla indifferentemente di equazioni linearmente indipendenti (o dipendenti) o di righe linearmente indipendenti (o dipendenti), o ancora, di rango del sistema o della matrice incompleta che lo rappresenta.

Nella riduzione a scalini, le righe della matrice (o equivalentemente le equazioni del sistema) linearmente dipendenti si riducono alla riga nulla (ovvero all'equazione identica) alla fine del procedimento. Ciò conferma il fatto che le equazioni linearmente dipendenti non influiscono sulle soluzioni di un sistema.

Definizione 3.4.8 (Sistemi Lineari a Scalini)

Un sistema di equazioni lineari si dice a scalini se la sua matrice completa è a scalini.

Esempio 3.4.9

Considerato il sistema lineare

(3.1)

 la sua matrice completa è una matrice a scalini per righe, dunque il sistema è a scalini.

Osservazione 3.4.10 (Sistemi di equazioni lineari impossibili)

Dato un sistema a scalini è possibile riconoscere subito se ammette o meno soluzioni. Infatti, esso sarà impossibile se è presente nella matrice completa una riga del tipo .

Osservazione 3.4.11

Sia un sistema di equazioni lineari a scalini. Se , allora avrà righe nulle, che sono linearmente dipendenti e possono quindi essere eliminate (cfr. 3.4.7).

Osservazione 3.4.12 (Sistemi a scalini equivalenti)

Dal teor. di Rouché - Capelli e dalle considerazioni fatte sui sistemi a scala si deduce che se è un sistema lineare di equazioni in incognite di rango , allora il sistema ammette un'unica soluzione se , infinite soluzioni se , ed in tal caso le soluzioni dipendono da parametri. Se la matrice completa del sistema lineare è stata ridotta in forma a scalini, allora le righe non nulle trovate possono considerarsi come le righe dei coefficienti di nuove equazioni linearmente indipendenti, che formano un sistema lineare ridotto equivalente al primo. Se il sistema ammette infinite soluzioni, allora gli parametri corrispondono alle variabili relative alle colonne che non contengono i pivot.

Descriviamo un semplice metodo, detto di eliminazione di Gauss, utile per determinare le soluzioni di un sistema lineare.

Algoritmo 3.4.13 (Metodo di eliminazione di Gauss)

Consideriamo il sistema lineare

(3.2)

 Riduciamo a scalini la matrice completa del sistema. Chiamiamo la matrice ridotta. Se l'ultima riga di è del tipo con , allora il sistema è incompatibile. In caso contrario si possono presentare due situazioni.

(a)

Il sistema ammette un'unica soluzione se il numero di righe non nulle di è pari al numero di variabili. Il sistema che ha per matrice completa risulta di tipo triangolare superiore e la soluzione si trova per semplice sostituzione a ritroso.

(b)

Il sistema ha infinite soluzioni se il numero di righe non nulle di è minore del numero di variabili. Allora, scegliendo come variabili indipendenti (o parametri) quelle variabili che corrispondono a colonne che non contengono pivot, otteniamo un sistema triangolare superiore che ha un'unica soluzione per ogni scelta dei parametri, quindi il sistema originario ha soluzioni. Per risolvere il sistema triangolare superiore si procede a ritroso.

Esempio 3.4.14

Con riferimento al sistema dell'Esempio 3.4.9 si capisce che l'ultima equazione ammette infinte soluzioni, ad esempio se a si dà il valore si ottiene , nella penultima equazione si ha e nella prima equazione , i.e. le soluzioni del sistema sono

Esempio 3.4.15

Si consideri il sistema di tre equazioni in tre incognite Risulta che la matrice completa del sistema è di tipo : E' possibile ridurre a scalini la matrice con l'Algoritmo di Gauss, ottenendo la matrice equivalente ad per cui il sistema di partenza è equivalente ad che ammette un'unica soluzione .