Matrici invertibili

Definition (Matrici invertibili)

Sia una matrice quadrata di ordine . Diremo che è invertibile se esistono due matrici quadrate di ordine : e , tali che: e si chiamano, rispettivamente inversa destra e inversa sinistra.

Vale però il seguente teorema:

Theorem (Inversa di una matrice)

Sia una matrice quadrata di ordine . Se ammette inversa destra, allora ammette anche inversa sinistra e le due inverse coincidono. La matrice si dice invertibile.

L'inversa di una matrice quadrata , se esiste, si denota con il simbolo

Proposition (Proprietà dell'inversa)

La matrice inversa gode delle seguenti proprietà:

• Sia una matrice invertibile, allora anche è una matrice invertibile.
  
• Per ogni la matrice identica è invertibile.
  
• Siano e due matrici invertibili, allora anche è invertibile con inversa . Infatti dalla proprietà del prodotto righe per colonne, segue che .
  

Example

Direttamente dalla Definizione 2.5.1 segue che la matrice ammette per inversa

Andiamo ora a vedere un metodo per il calcolo della matrice inversa, che si basa sui due teoremi di Laplace.

Definition

Data una matrice , la matrice il cui generico elemento è il complemento algebrico si dice matrice dei complementi algebrici (o matrice complementare di ) La trasposta di si dice matrice aggiunta di

Consideriamo il prodotto . Si ha

(per il I e II teorema di Laplace)

cioè
Da quanto appena visto si ricava immediatamente la seguente:

Proposition

Una matrice quadrata è invertibile se e solo se e vale

Oltre al metodo appena esposto, per il calcolo dell'inversa di una matrice può essere utile il seguente risultato:

Proposition

Sia e sia la matrice che si ottiene affiancando ad la matrice identica di ordine . Risulta che è invertibile se e solo se la forma a scalini ridotta di ha nelle prime colonne la matrice . La sottomatrice della forma a scalini di costituita dalle colonne risulta essere esattamente .