Calcolo dell'Inversa di una Matrice

Il calcolo dell'inversa di una matrice può essere effettuato utilizzando l'algoritmo di Gauss per le matrici a scalini.
Definiamo matrice a scalini ridotta una matrice che ha le seguenti proprietà:

1. è una matrice a scalini;
   
2. tutti i pivot hanno valore ;
   
3. ogni pivot è l'unico elemento non nullo della colonna a cui appartiene.
   

Per ottenere una matrice in forma a scalini ridotta, prima la riduciamo a scalini. successivamente a partire dall'ultima riga non nulla, normalizziamo i pivot, cioè li rendiamo pari a , dividendo tutta la riga per il valore del pivot, e azzeriamo poi gli elementi che sono nella colonna del pivot e al di sopra di esso, utilizzando le stesse regole che si usano per azzerare al di sotto dei pivot quando riduciamo a scalini.
Per ottenere l'inversa di una matrice , di ordine , andiamo a costruire una nuova matrice , di tipo , ottenuta affiancando ad la matrice identica di ordine .Riduciamo in forma a scalini ridotta . Si dimostra che le prime colonne di costituiscono la matrice ideantica di ordine , mentre le ultime colonne sono proprio la matrice inversa cercata .

Esercizio

Trovare l'inversa della matrice

Soluzione

Costruiamo una nuova matrice affiancando ad la matrice identica di ordine :e procediamo a ridurla in forma a scalini.

Il primo pivot è nella posizione e vale . Per azzerare sotto il pivot effettuiamo le operazioni: ottenendo Il secondo pivot è nella posizione e vale . Per azzerare sotto il pivot effettuiamo le operazioni: ottenendo
A questo punto la matrice è in forma a scalini. Ora a partire dall'ultima riga procediamo a normalizzare i pivot (ovvero renderli pari a ) e poi ad azzerare al di sopra di essi.

Osserviamo che il pivot della terza riga è già normalizzato. Azzeriamo al di sopra, effettuando le seguenti operazioni: che dannoPassiamo al pivot della seconda riga che vale , quindi per normalizzare effettuiamo l'operazione che dàOra per azzerare l'elemento al di sopra effettuiamo l'operazione e si haInfine consideriamo il pivot della prima riga, che vale , quindi lo normalizziamo con l'operazione ottenendoCome si vede, le prime tre colonne sono diventate la matrice identica di ordine , mentre ciò che abbiamo ottenuto nelle ultime tre colonne è proprio l'inversa di (come si può verificare). Perciò: