Definizione 2.2.1 (Somma di matrici)
Siano 
e 
due matrici aventi la stessa dimensione 
.
e due matrici aventi la stessa dimensione . Si definisce somma delle matrici 
e 
, la matrice 
il cui generico elemento 
è dato da 
. La somma di matrici gode delle seguenti proprietà:
e , la matrice il cui generico elemento è dato da . La somma di matrici gode delle seguenti proprietà: - associativa
- commutativa
- elemento neutro
- esistenza dell'opposto
(![$-A:= [-a_{ij}]$](http://elearning.diima.unisa.it/iwt/Repository/users/10/Resource_112958/HTML-2-MT-OperazMatrici/graphics/2-MT-OperazioniMatrici__13.png)
).
Esempio 2.2.2
Osservazione 2.2.3 (facoltativa)
Dalla definizione e dalle propriet� della somma fra matrici segue che l'insieme delle matrici di tipo 
costituisce un gruppo abeliano con l'operazione di somma sopra definita.
costituisce un gruppo abeliano con l'operazione di somma sopra definita. Definizione 2.2.4 (Prodotto di una matrice per uno scalare)
Data la matrice 
e uno scalare non nullo 
, si definisce prodotto della matrice 
per lo scalare 
la matrice 
e uno scalare non nullo , si definisce prodotto della matrice per lo scalare la matrice Esempio 2.2.5
Osservazione 2.2.6
Considerato il prodotto per uno scalare, si osserva che l'insieme delle matrici 
soddisfa le seguenti propriet�. Siano 
e 
due matrici ed 
e 
due numeri reali, risulta che
soddisfa le seguenti propriet�. Siano e due matrici ed e due numeri reali, risulta che -
,
-
,
-
,
-
,
pertanto l'insieme delle matrici 
costituisce uno spazio vettoriale reale sul campo reale.
costituisce uno spazio vettoriale reale sul campo reale. Definizione 2.2.7 (Prodotto righe per colonne)
Siano
=
e 
rispettivamente due matrici di 
e 
. Si definisce prodotto righe per colonne di 
e 
, e si indica con 
, l'elemento 
Siano
= e rispettivamente due matrici di e . Si definisce prodotto righe per colonne di e , e si indica con , l'elemento Definizione 2.2.8
Siano 
e 
rispettivamente due matrici di 
e 
. Si definisce prodotto righe per colonne di 
e 
, e si indica con 
, la matrice 
di 
data da: 
e rispettivamente due matrici di e . Si definisce prodotto righe per colonne di e , e si indica con , la matrice di data da: Osservazione 2.2.9
Osserviamo che il prodotto 
è definito soltanto se il numero delle colonne di 
è uguale al numero di righe di 
è definito soltanto se il numero delle colonne di è uguale al numero di righe di Esempio 2.2.10 (Prodotto righe per colonne)
Il prodotto righe per colonne di 
per
e' la matrice 
di tipo 
così ottenuta: 
pere' la matrice di tipo così ottenuta: Osservazione 2.2.11
Ovviamente il prodotto 
è sempre definito se le matrici sono quadrate e delle stesso ordine.
è sempre definito se le matrici sono quadrate e delle stesso ordine. Osservazione 2.2.12
Riportiamo alcune proprietà fondamentali del prodotto righe per colonne. In generale, il prodotto 
non è uguale a 
, ovvero il prodotto righe per colonne non è commutativo, come si evince dall'esempio che segue.
non è uguale a , ovvero il prodotto righe per colonne non è commutativo, come si evince dall'esempio che segue. Esempio 2.2.13
Siano 
e 
due matrici definite come segue: 
Allora possiamo effettuare il prodotto righe per colonne di 
per 
ottenendo 
Osserviamo che 
non è definito perch� il numero di colonne di 
è 4 mentre il numero di righe di 
è 2 e quindi 
non è uguale a 
e due matrici definite come segue: Allora possiamo effettuare il prodotto righe per colonne di per ottenendo Osserviamo che non è definito perch� il numero di colonne di è 4 mentre il numero di righe di è 2 e quindi non è uguale a Osserviamo inoltre che anche nel caso di matrici quadrate il prodotto non sempre è commutativo. Infatti considerate le seguenti matrici: 
si ha: 
e quindi 
.
si ha: e quindi . Proposizione 2.2.14
(Proprietà associativa) Siano 
appartenente a 
, 
appartenente a 
, 
appartenente a 
, si ha 
.
appartenente a , appartenente a , appartenente a , si ha . Proposizione 2.2.15
Siano 
appartenente a 
, 
appartenente a 
, 
appartenente a 
, 
appartenente a 
, allora valgono le seguenti relazioni:
appartenente a , appartenente a , appartenente a , appartenente a , allora valgono le seguenti relazioni: -
(proprietà distributiva)
-
(proprietà distributiva)
-
(esistenza dell'elemento neutro)
-
.
Proposizione 2.2.16
è un anello rispetto alle operazioni di addizione tra matrici e prodotto righe per colonne. Infatti: Esempio 2.2.17
è un anello rispetto alle operazioni di addizione tra matrici e prodotto righe per colonne. Infatti: -
è un gruppo abeliano.
-
-
è associativa 
-
è distributiva rispetto a 
-
-
è dotato di unità 
.
Osservazione 2.2.18
non è un campo (basti considerare il fatto che il prodotto tra matrici non è commutativo o il fatto che non tutte le matrici sono invertibili). Osservazione 2.2.19
Poiché 
non è un campo, in esso non vale la legge di annullamento del prodotto, come mostra il seguente esempio:
non è un campo, in esso non vale la legge di annullamento del prodotto, come mostra il seguente esempio: 
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