Verso le Disposizioni

Verso le Disposizioni

L'esperienza descritta ha messo in luce, ancora una volta, come dietro ai più semplici e comuni giochi, come quello delle carte o del lotto, ci siano dei ragionamenti logici basati su concetti matematici più o meno complicati. Nel caso dell'esempio presentato abbiamo enfatizzato l'ausilio di uno dei concetti basilari del calcolo combinatorio rappresentato dalle disposizioni che a breve definiremo rigorosamente; al momento cerchiamo di analizzare a partire dall'esperienza presentata cosa si intende con il temine disposizione di elementi a a o equivalentemente presi a gruppi di . Tale concetto interviene nel gioco, ancora una volta, a proposito della associazione di determinati numeri a tutte le possibili disposizioni delle quattro carte a due alla volta. Immaginiamo, dunque, di avere le seguenti quattro carte: 3 di cuori, 4 di picche, 5 di quadri, 7 di fiori; dobbiamo disporle in fila di due. Innanzitutto, comprendiamo come il concetto di disposizione sia intrinsecamente legato a quello di permutazione, infatti disporre quattro carte a due alla volta significa permutare le quattro carte e poi scartare tutte le possibili permutazioni delle rimanenti due carte. Per cui cominciamo a calcolare tutte le possibili permutazioni delle quattro carte assegnate; esse saranno, secondo quanto visto dalla teoria sulle permutazioni, pari a 4! = 24:

permutazione possibile	3 di cuori	4 di picche	5 di quadri	7 di fiori
permutazione possibile	3 di cuori	5 di quadri	4 di picche	7 di fiori
permutazione possibile	4 di picche	5 di quadri	3 di cuori	7 di fiori
permutazione possibile	4 di picche	3 di cuori	5 di quadri	7 di fiori
permutazione possibile	5 di quadri	4 di picche	3 di cuori	7 di fiori
permutazione possibile	5 di quadri	3 di cuori	4 di picche	7 di fiori
permutazione possibile	3 di cuori	4 di picche	7 di fiori	5 di quadri
permutazione possibile	3 di cuori	5 di quadri	7 di fiori	4 di picche
permutazione possibile	4 di picche	5 di quadri	7 di fiori	3 di cuori
permutazione possibile	4 di picche	3 di cuori	7 di fiori	5 di quadri
permutazione possibile	5 di quadri	4 di picche	7 di fiori	3 di cuori
permutazione possibile	5 di quadri	3 di cuori	7 di fiori	4 di picche
permutazione possibile	3 di cuori	7 di fiori	4 di picche	5 di quadri
permutazione possibile	3 di cuori	7 di fiori	5 di quadri	4 di picche
permutazione possibile	4 di picche	7 di fiori	5 di quadri	3 di cuori
permutazione possibile	4 di picche	7 di fiori	3 di cuori	5 di quadri
permutazione possibile	5 di quadri	7 di fiori	4 di picche	3 di cuori
permutazione possibile	5 di quadri	7 di fiori	3 di cuori	4 di picche
permutazione possibile	7 di fiori	4 di picche	5 di quadri	3 di cuori
permutazione possibile	7 di fiori	5 di quadri	4 di picche	3 di cuori
permutazione possibile	7 di fiori	5 di quadri	3 di cuori	4 di picche
permutazione possibile	7 di fiori	3 di cuori	5 di quadri	4 di picche
permutazione possibile	7 di fiori	4 di picche	3 di cuori	5 di quadri
permutazione possibile	7 di fiori	3 di cuori	4 di picche	5 di quadri

A questo punto, secondo quanto dicevamo in precedenza, occorre prendere in considerazioni soltanto i primi due elementi di ogni permutazione, dai quali scartando i "doppioni", si conclude che tutte le possibili disposizioni delle 4 carte, prese a due alla volta , sono soltanto 12, ossia la metà delle permutazioni dei 4 termini. Di conseguenza, ci chiediamo se è solo un caso che le disposizioni di 4 elementi presi a due alla volta sono date dal numero delle permutazioni dei 4 elementi diviso per 2 (corrispondente proprio al numero delle classi o file degli elementi), oppure se dietro tali riflessioni si cela una regola.
La risposta, ovviamente, è che esiste una formula rigorosa! Di conseguenza, il nostro proposito sarà, dunque, quello di formalizzare i concetti di cui fino ad ora abbiamo fornito essenzialmente un'idea.