Cenni di Topologia su R

Cenni di Topologia su

Retta Reale ed Intervalli

Sia una retta e fissiamo un punto (origine) e un punto Restano così individuati due versi, uno positivo secondo cui precede e uno negativo secondo cui precede Una tale retta si dice orientata e delle due semirette di origine quella cui appartiene viene detta positiva, mentre l'altra negativa, indicate rispettivamente con e
Il verso positivo viene indicato da una freccia.
Assunto come unità di misura (la lunghezza del segmento che unisce O con u), sia la sua misura rispetto a Allora poniamo:

Il numero reale che viene associato al punto viene detto ascissa di (Al punto corrisponde il numero .)
Si dimostra che vale anche il viceversa: ogni numero reale individua un punto su I numeri negativi individuano punti Tale corrispondenza tra e si dice rappresentazione dei numeri reali ed viene anche detta retta reale.
Definizione Dati due punti reali e con l'insieme si dice intervallo chiuso di estremi e e si indica con Si chiama intervallo aperto di estremi l'insiemementre gli insiemisi chiamano rispettivamente intervallo semiaperto a destra e intervallo semiaperto a sinistra. Il numero si dice estremo inferiore (o sinistro) mentre si dice estremo superiore (o destro).
Definizione Se , allora:Geometricamente un intervallo non vuoto e non ridotto ad un punto è un segmento con estremi compresi o esclusi a seconda che sia chiuso, aperto o semiaperto. La differenza , che rappresenta la lunghezza del segmento, si chiama ampiezza o dimensione dell'intervallo e il numero si dice semiampiezza o semidimensione o raggio. Il punto medio (o centro) dell'intervallo è .
Un intervallo è individuato dando il centro e la semidimensione, avendosi e quindiche si possono scrivere sinteticamente rispettivamente come:
Definizione Dato consideriamo l'insieme: si chiama intervallo chiuso illimitato superiormente di estremo inferiore l'insieme: intervallo aperto. Mentre gli insiemi: si dicono rispettivamente intervallo chiuso e aperto illimitato inferiormente di estremo superiore b.
L'insieme viene anche identificato con l'unico intervallo illimitato sia superiormente che inferiormente ed è rappresentato dall'intera retta reale. Mentre gli intervalli semiaperti si identificano con semirette chiuse e aperte.
Notazione I simboli (meno infinito) e (più infinito) sono simboli convenzionali che risultano definiti dalla proprietà:Il simbolo indica l'insieme

Insiemi Numerici ed estremi

Sia con Il sottoinsieme viene chiamato insieme numerico.
Definizione Un elemento tale che(se esiste) si chiama minimo di e si scrive
Definizione Un elemento tale che(se esiste) si chiama massimo di e si scrive
Proposizione Se esiste, il massimo di è unico; se esiste, il minimo di X è unico.

Proof

Per assurdo tali che e Allora, poiché è un minimo deve aversi e in particolare Analogamente, poiché è minimo di , deve aversi e in particolare segue

Si osservi, inoltre, se esistono e dev'essere per definizione
Definizione Sia tale che Se tale elemento esiste, si dice che è limitato inferiormente e l'elemento si dice minorante di
Definizione Sia tale che Se tale elemento esiste, si dice che è limitato superiormente e l'elemento si dice maggiorante di
Osservazione Osserviamo esplicitamente che il minimo e il massimo di (se esistono) sono rispettivamente un minorante e un maggiorante di Quindi un insieme dotato di minimo (risp. di massimo) è limitato inferiormente (risp. superiormente). Infine, un insieme limitato inferiormente è in generale dotato di più di un minorante (lo stesso vale per i maggioranti).
Esempio Sia con , . Ogni numero reale più piccolo di è ancora un minorante di . Ogni numero reale più grande di è ancora un maggiorante di .
Esempio Sia . è dotato di minoranti (tutti gli ) e di maggioranti (tutti gli ) è limitato inferiormente e superiormente. inoltre, non è dotato di massimo, nè di minimo.
Definizione Se è limitato sia superiormente che inferiormente, si dice che è limitato, cioè
Teorema Se è limitato inferiormente, l'insieme dei minoranti di è dotato di massimo.

Proof

Sia A l'insieme dei minoranti di , cioè allora fissato si ha: Per la proprietà di completezza del campo reale segue che tale che e Quest'ultima relazione implica che è un minorante di quindi e inoltre è il più grande dei minoranti di Allora

Teorema Se è limitato superiormente, l'insieme dei maggioranti di è dotato di minimo.
In virtù dei due precedenti teoremi, si possono dare le seguenti definizioni.
Definizione Se è limitato inferiormente, il massimo dei minoranti si chiama estremo inferiore e si indica con .
Definizione Se è limitato superiormente, il minimo dei maggioranti si chiama estremo superiore e si indica con .
Osservazione Osserviamo che risulta dalle definizioni dateInoltre valgono le seguenti equivalenze.

Teorema è dotato di minimo (risp.di massimo) se e solo se:

1. è limitato inferiormente (risp. superiormente);
   
2. (risp. ).
   

Proposizione (Proprietà caratteristiche dell'estremo inferiore). Se è limitato inferiormente, l'estremo inferiore di è quel numero tale che:

;

.

In altre parole, se allora è un minorante di (quindi vale la )) e inoltre è il massimo dei minoranti, ciò vuol dire che non appena prendiamo un numero più grande di , non è più un minorante, pertanto deve esistere almeno un elemento di che non sia maggiore o uguale ad (quindi vale la )).
Proposizione (Proprietà caratteristiche dell'estremo superiore). Se è limitato superiormente, l'estremo superiore di è quel numero tale che:

;

Analogamente a quanto detto per l'estremo inferiore, se allora è un maggiorante di (quindi vale la ). Inoltre è il minimo dei maggioranti; ciò vuol dire che non appena prendiamo un numero più piccolo di è non è maggiorante, pertanto deve esistere almeno un elemento di che non sia minore o uguale a (quindi vale la ).
Notazione Per convezione, se non è limitato inferiormente, si pone e cioè ; mentre se non è limitato superiormente, si pone e cioè
Proposizione (Proprietà di Archimede) è un insieme numerico non limitato superiormente.

Proof

Per assurdo supponiamo che : Allora si ha che: ma e quindi siamo giunti ad un assurdo perchè risulta minore di un elemento di

Osservazione Le proprietà e possono riscriversi rispettivamente:

(dove );

(dove ).

Lemma

è dotato di massimo è dotato di estremo superiore e risulta

Proof

Sia Facciamo vedere che valgono le proprietà dell'estremo superiore. La è ovvia conseguenza della definizione di massimo.

Sia , allora risulta con quindi vale la Pertanto

L'implicazione contraria non vale. Infatti sia Vogliamo provare che Basta, quindi, verificare le due proprietà caratteristiche dell'estremo superiore.

Osserviamo che quindi dalla definizione di intervallo si ha particolare è e ciò prova la

Fissiamo e consideriamo Si ha che e per la densità di in , tale che Rileviamo che se allora Se quindi ogni elemento di soddisfa la proprietà , Quindi è soddisfatta la ed è , ma 4 non è il massimo di

Valgono analoghi risultati per il minimo.

Lemma

è dotato di minimo è dotato di estremo inferiore e risulta

Proof

Sia Per dimostriamo le proprietà dell'estremo inferiore. La deriva dalla stessa definizione di minimo.

Sia con quindi vale la con

Pertanto e è limitato inferiormente.

Come controesempio per l'implicazione inversa, consideriamo l'insieme

Vediamo che Osserviamo che .
Dalla definizione di intervallo si ha: e, poiché vale in particolare e quindi vale la
Fissiamo ora consideriamo Si ha e per la densità di in , Osserviamo che, se allora se invece quindi ogni elemento di soddisfa la proprietà
Quindi è soddisfatta la ed è Tuttavia non è minimo di

Insiemi contigui

Definizione Siano e insiemi numerici. Se e soddisfano la seguente proprietàgli insiemi e si dicono separati.
Se e sono separati, allora è limitato superiormente e è limitato inferiormentee l'insieme degli elementi di separazione di e è
Definizione Due insiemi separati e t.c.si dicono contigui.
Teorema sono due insiemi contigui se e solo se elemento di separazione.
Teorema Un insieme è un compatto se e solo se è chiuso e limitato.
Rimandiamo al capitolo relativo alle successioni per dare una definizione rigorosa di insieme compatto.
Un insieme si dice denso in se ogni intervallo aperto non vuoto di contiene almeno un punto di .
Esempio non è denso in , in quanto ad esempio l'intervallo non contiene punti di ; invece è denso in : infatti preso un qualsiasi intervallo aperto questo contiene infiniti punti, quindi anche punti diversi da zero.
Notiamo che se è denso in ogni intervallo aperto non vuoto di contiene non uno solo, ma infiniti punti di .
Proposizione è denso in .

Proof

Sia un intervallo aperto (non vuoto); se non è limitato, consideriamo un qualsiasi intervallo aperto (non vuoto) e limitato (basta prendere due punti con e porre ): se proviamo che , allora anche . Quanto abbiamo detto sinora ci permette di restringerci al solo caso in cui e' un intervallo limitato (non vuoto). Poichè non è limitato nè superiormente nè inferiormente, (si veda Corollario relativo alla costruzione dei campi , , non è un minorante di , quindi esiste tale che . Dato che l'intervallo è aperto e non è vuoto, , pertanto . Scegliamo tale che (si veda Corollario relativo ad ): adesso, partendo da (che è minore di ) muoviamoci a passi di (che sono più corti della lunghezza dell' intervallo), così a un certo punto ci dovremmo trovare dentro all'intervallo. Per farlo, consideriamo l'insieme : tale insieme è non vuoto per la Proprietà di Archimede applicata con e , quindi per la proprietà del minimo intero (ogni sottoinsieme non vuoto di ha minimo) ha minimo . Poniamo , e osserviamo che perchè . Dato che , il numero non può essere zero; allora , cioè da cui Abbiamo provato che , ma è razionale perchè somma di numeri razionali.

Intorni e punti di accumulazione

Sia . Preso possiamo dare le seguenti definizioni.
Definizione Un intorno di è un intervallo aperto di centro cioè un intervallo del tipo
Definizione Si chiama intorno destro di un intervallo aperto del tipo con
Definizione Si chiama intorno sinistro di un intervallo aperto del tipo con
Definizione Se si chiama intorno di ogni intervallo del tipo con
Definizione Se si chiama intorno di ogni intervallo del tipo con
Proposizione L'intersezione di due intorni di è un intorno di L'intersezione di due intorni destri (risp. sinistri) di è un intorno destro (risp. sinistro) di
Proposizione con un intorno di e un intorno di
Notazione L'insieme degli intorni di si indica con L'insieme degli intorni destri di si indica con mentre l'insieme degli intorni sinistri di si indica con
Definizione Sia un insieme numerico. Un punto è un punto di accumulazione per se ad ogni intorno di appartiene almeno un punto di , distinto da (se ), cioè
Teorema è punto di accumulazione l'insieme è infinito.
Corollario Dal teorema enunciato segue che un insieme dotato di punti di accumulazione è necessariamente infinito, o, ciò che è lo stesso, che un insieme finito non è dotato di punti di accumulazione.
Proposizione Il punto è un punto di accumulazione per se e solo se non è superiormente limitato. Il punto è un punto di accumulazione per se e solo se non è inferiormente limitato.
Definizione Se e non è punto di accumulazione per , si dice che è un punto isolato, cioè
Definizione Un punto (risp. ) è un punto di accumulazione a destra (risp. a sinistra) per se (risp. ), si ha
Proposizione L'estremo superiore (risp. inferiore) di un insieme numerico se non appartiene a è un punto di accumulazione per
Notazione Con il simbolo si indica l'insieme dei punti di accumulazione per l'insieme numerico distinti da (ovvero insieme dei punti di accumulazione al finito). viene detto derivato di
Definizione Un insieme si dice chiuso se contiene il proprio derivato cioè
Teorema Sia un insieme numerico. Si ha che è chiuso e limitato se e solo se contiene tutti i suoi punti di accumulazione.

Proof

Sia limitato. Allora e non sono punti di accumulazione per Infatti se è limitato allora per definizione: Poichè si ha quindi non è punto di accumulazione. Analogamente per cui non è punto di accumulazione per Allora dall'ipotesi che è chiuso segue che contiene tutti i suoi punti di accumulazione ed in particolare contiene tutti i suoi punti di accumulazione dato che e non lo sono.

Viceversa, se per assurdo non fosse chiuso, alloracon punto di accumulazione al finito.

Se non è limitato allora è di accumulazione, quindiil che implica che di accumulazione non al finito.

Per maggiori approfondimenti inerenti gli argomenti trattati cfr. Bibliografia.