Il Campo dei Numeri Reali ~ solo matematica

lunedì 7 marzo 2011

Il Campo dei Numeri Reali

I numeri reali possono essere "costruiti" a partire dai numeri razionali, così come i numeri razionali si costruiscono a partire da numeri interi relativi e questi a partire dai numeri naturali.
Tuttavia, si tralascerà l'aspetto costruttivo dell'insieme dei numeri reali e ci si limiterà a richiamarne le proprietà fondamentali.

Assiomi e proprietà dei numeri reali

Si chiama Campo dei Numeri Reali un insieme $\U{211d}$ sul quale sono definite:

$\QTR{bf}{I)}$

due leggi di composizione interna, la prima denotata col segno

e detta addizione, la seconda denotata col segno $\cdot$ e detta moltiplicazione;

$\QTR{bf}{II)}$

una relazione d'ordine totale, denotata con $\leq$ e detta relazione d'ordine usuale in $\U{211d} ,$ soddisfacente gli assiomi

sotto enunciati:

$A_{1})$

è un gruppo commutativo, cioé:

esiste un unico elemento, detto zero e denotato con , tale che
per ogni $a\in \U{211d}$ , esiste un unico elemento detto opposto di e denotato con , tale che:

$A_{2})$

è un campo, cioé è verificato l'assioma $A_{1})$ e in più si ha:

esiste un unico elemento, diverso da , detto unità e denotato con , tale che
per ogni , esiste un unico elemento detto inverso (o reciproco) di e denotato con $a^{-1}$ , tale che:

$A_{3})$

La relazione d'ordine totale $\leq$ in $\U{211d}$ è compatibile con l'addizione e la moltiplicazione, cioé:

$A_{4})$

(Assioma di Completezza) - Se

sono due sottoinsiemi di $\U{211d}$ tali che: MATH

allora esiste un elemento

tale che:

Osservazione Si osservi come gli asiomi

esprimono che

è un campo ordinato.
Osservazione Gli asiomi

da soli non caratterizzano il campo dei numeri reali. Essi esistono in ogni campo ordinato e, quindi, in particolare, sono verificati anche nel campo ordinato dei numeri razionali. Si può dimostrare, invece, ma qui ci si astiene per brevità, che il quarto assioma non è soddisfatto nel campo dei numeri razionali.
Definizione Ogni campo ordinato

soddisfacente l'assioma $A_{4})$ si chiama campo ordinato completo.
Osservazione Le operazioni inverse dell'addizione e della moltiplicazione si chiamano, rispettivamente, sottrazione e divisione. La prima è l'operazione che ad ogni $a,b\in \U{211d}$ associa l'elemento