I Numeri Reali: Introduzione storica

I Numeri Reali: Introduzione storica

La prima risposta alla richiesta di dare un nome ad alcune grandezze misurabili fu realizzata dai Sumeri, i quali nell'antico Egitto costruirono le frazioni. Questo strumento permise da subito la misura di qualsiasi grandezza positiva con precisione arbitraria. La prima formalizzazione matematica nota è quella di Euclide nel III secolo a.C.. Negli Elementi di Euclide, la geometria è formalizzata con assiomi, teoremi e dimostrazioni. Qui i numeri sono messi in corrispondenza con le lunghezze dei segmenti. L'approccio di Euclide mette, quindi, in evidenza la prima contraddizione fra la nozione di numero dell'epoca (le frazioni, cioè i numeri razionali) e il ruolo che era loro attribuito, quello di rappresentare le lunghezze di segmenti. Un caso particolare del teorema di Pitagora mostra infatti che la lunghezza dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui cateti hanno lunghezza , è tale che . D'altra parte, è facile mostrare che una tale non è esprimibile come frazione. Saranno necessari più di due millenni per risolvere questa apparente contraddizione. Con l'ausilio delle frazioni i greci potevano esprimere con precisione arbitraria qualsiasi numero reale. L'assenza di un sistema di numerazione adeguato rendeva però difficili le operazioni elementari fra queste quantità, quali ad esempio la somma o la divisione. Si deve attendere fino al V secolo per vedere finalmente riconosciuto lo zero come numero dalla scuola indiana, e per lo sviluppo del sistema di numerazione decimale. Nella seconda metà del XVII secolo, si assiste ad un interessamento straordinario da parte dei matematici al calcolo delle serie e successioni. Tra questi, Leibniz lavora su delle serie che sembrano convergere ad un limite non razionale. Inoltre nel 1844 viene mostrata l'esistenza di numeri trascendenti, cioè di numeri che non sono radici di nessun polinomio a coefficienti interi. Non è quindi sufficiente aggiungere i numeri algebrici ai razionali per ottenere "tutti i numeri". Durante la seconda parte del XVII secolo, Newton e Leibniz inventano una nuova branca della matematica, chiamata adesso analisi matematica, e conosciuta all'epoca come calcolo infinitesimale. Questa raggiunge subito la massima notorietà perchè alla base di una nuova teoria fisica universale: la meccanica classica e la gravità. Il calcolo infinitesimale necessita di un insieme di numeri più grande dei razionali, che comprenda tutti i buchi, in modo da stare tutti su una retta, detta retta reale. Nel linguaggio moderno, la proprietà necessaria al calcolo è la completezza. Tale nozione, introdotta successivamente da Cauchy, è estremamente importante in tutti i settori della matematica. Sarà necessario un ulteriore secolo per formalizzare in modo preciso l'insieme dei numeri reali, cioè per "tappare i buchi" lasciati dai razionali. Il primo ad affrontare con successo la costruzione dei numeri reali è Cauchy. La sua idea è la seguente: una successione dovrebbe convergere se gli elementi sono (dopo un certo punto) arbitrariamente vicini fra loro: una tale successione è oggi detta successione di Cauchy. Questa idea si traduce in una definizione rigorosa dei numeri reali solo verso la fine del XIX secolo, grazie ai lavori di Cantor e Dedekind nel 1872. Cantor premette una teoria aritmetica dei numeri reali i quali vengono definiti utilizzando successioni di numeri razionali sottoposti alla condizione oggi nota come condizione di Cauchy. Per tali numeri egli definisce il concetto di uguaglianza e le usuali operazioni aritmetiche e distingue poi gli insiemi di punti in varie specie a seconda degli insiemi derivati ennesimi. Dedekind, invece nella sua opera Continuità e numeri irrazionali, partendo dallo studio delle proprietà dei numeri razionali, afferma che l' "essenza della continuita" risiede in quello che è rimasto noto come assioma di Dedekind. I numeri reali vengono allora creati, abbandonando l'intuizione geometrica per affidarsi all'aritmetica dei numeri razionali, attraverso le sezioni e dimostrandone poi le proprietà di ordinamento, definendo le usuali operazioni aritmetiche e il concetto di limite.