Dalle applicazioni alla teoria: le permutazioni

Dalle applicazioni alla teoria: le permutazioni

Allo scopo di fornire delle applicazioni relative al concetto di permutazione, presentiamo all'utente un esempio concreto di applicazione di tale argomento nel semplice contesto di Teoria dei giochi.
L'utente immagini di assistere allo svolgersi di un gioco cooperativo in cui gli attori siano essenzialmente tre: il Mago, l'Assistente ed il Pubblico.
Da un mazzo di 52 carte, disposte secondo un ordine concordato dal mago e dall'assistente, il pubblico estrae 5 carte a caso, le mescola e le consegna all'assistente, il quale le guarda, le rimescola e ne cosegna una al pubblico ed il resto al mago. Costui, guardando le rimanenti 4 carte, comunica a voce alta senza incertezza alcuna la carta posseduta dal pubblico.
A conclusione del gioco ci chiediamo se si tratta di pura illusione oppure se effettivamente è possibile individuare un trucco intelligente che si cela dietro questo, apparentemente, semplice gioco. Lo scopo della nostra indagine sarà rendere il nostro utente un mago esperto!!
Procediamo per ordine: innanzitutto, estraendo cinque carte su 52 (di 4 semi diversi, quindi 13 per seme) necessariamente almeno due carte saranno dello stesso seme (supponiamo che non più di due siano dello stesso seme); ebbene l'assistente consegnerà al pubblico la più piccola tra le due carte con il medesimo seme.
A questo punto l'assistente ordina le rimanenti 4 carte in modo tale che la prima di esse sia la "gemella" (stesso seme) della carta consegnata al pubblico, in tal modo il mago, o finto mago, ottiene la prima informazione ossia il seme della carta posseduta dal pubblico.
Rimane da comunicare al mago solo il numero tra 1 e 13 della carta nascosta. In realtà, scartando la carta gemella consegnata al mago dall'assistente, le possibili scelte sono solo 12.
A questo punto poichè dalla gemella il mago ha acquisito il seme, essa non gli sarà al momento utile al fine di individuare il numero della carta posseduta dal pubblico, per cui il ragionamento che condurrà alla determinazione del numero va inizialmente fatto sulle tre rimanenti carte.
In effetti, l'assistente al momento della consegna delle carte al mago distribuisce le rimanenti tre carte seguendo un ordinamento concordato collegato alle variabili Bassa, Media ed Alta, associabili al valore delle singole carte. Tutti i possibili ordinamenti che posso avere modificando la posizione nell'ordinamento delle tre carte sono :

A partire dal "numero" rappresentante una delle possibili sequenze, il mago otterrà l'ultima informazione mancante secondo il seguente ragionamento: si immagini di disporre le 13 carte, aventi il seme della carta gemella su di un segmento orientato, in cui l'origine sia fissato nel numero della carta gemella, così come indicato in figura (dove abbiamo assunto che il numero della carta gemella sia )

Supponiamo che la sequenza delle 3 restanti carte (una volta scartata la carta gemella) che il Mago riceve dall'Assistente sia AMB che corrisponde al numero Allora il mago a partire dal numero deve scalare di 6 passi, in uno dei due possibili versi, in tal modo troverà come numero il 2 scalando verso destra oppure il numero 1 scalando verso sinistra. È ovvio che l'assistente oltre al numero di passi da fare deve anche suggerire al mago il verso secondo cui procedere dal numero 8; quest'ultima informazione gli viene fornita dall'assistente a seconda che quest'ultimo consegni le carte al mago coperte o scoperte sul banco.
In tal modo il mago sà, una volta individuato il numero della particolare permutazione delle carte, se scendere o salire di passi a partire dal numero 8 lungo la retta rappresentata in figura 1.
Concludiamo dicendo che per diventare un bravo mago oltre a saper maneggiare le carte, occorre anche avere qualche infarinatura di calcolo combinatorio!!!