Esercizio
Sia
tale che 
, 
, 
. Scrivere la matrice rappresentativa di
rispetto alle basi canoniche.Soluzione
Il nucleo di
è formato dai vettori di 
la cui immagine è il vettore nullo di 
, quindi cerchiamo i vettori 
tali che 
ovvero
La matrice dei coefficienti è:
Osserviamo che 
perché ogni sottomatrice di ordine 
contiene una colonna nulla quindi tutti i minori di ordine 
sono nulli, inoltre il minore individuato dalle prime due righe e dalla seconda e terza colnna è diverso da 
. Perciò abbiamo il sistema ridotto:
dove prendiamo 
come parametro dato che corrisponde alla prima colonna che non è contenuta nel minore considerato per il rango. Perciò abbiamo:
e 
e una base è data da 
. Per quanto riguarda invece
, osserviamo che la matrice 
è proprio la matrice rappresentativa di 
rispetto alle basi canoniche e che quindi le sue colonne sono un sistema di generatori di 
. In particolare risulta che 
e una base di 
è data proprio dalle colonne di 
che sono coinvolte nel minore che ha dato il rango, ovvero una base è data da 
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