Esercizio
Sia
tale che 
, 
, 
. Calcolare la matrice rappresentativa di
rispetto alla base canonica e alla base 
.Soluzione
La matrice rappresentativa di
rispetto alla base canonica e alla base 
data ha per colonne le immagini dei vettori di 
rispetto alla base 
, perciò ricordando che:
esprimiamo ciascun vettore immagine come combinazione lineare dei vettori di
. Per il primo vettore abbiamo:
da cui
Ripetendo il ragionamento per il secondo vettore di (1), otteniamo una eguaglianza simile a (2) dove dobbiamo sostituire 
al primo membro, quindi perveniamo al sistema
Analogamente per l'ultimo vettore di (1) che dà il sistema
Le soluzioni dei sistemi sopra danno ordinatamente le colonne della matrice cercata che quindi è:
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