Esercizio
Dato l'endomorfismo di
definito da
calcolare la matrice rappresentativa di 
rispetto alla base
Soluzione
Ricordiamo che per definizione la matrice rappresentativa di
rispetto a due basi 
e 
(considerate rispettivamente nel dominio e nel codominio della funzione) ha per colonne le componenti delle immagini dei vettori di 
rispetto alla base 
. Nel caso di un'unica base resta sottinteso che si considera 
, perciò calcoliamo:
ed esprimiamo ciascun vettore trovato come combinazione lineare dei vettori di 
stessa. Per il primo vettore abbiamo:
da cui
Osserviamo che ripetendo il ragionamento per il secondo vettore di (1), otteniamo una eguaglianza simile a (2) dove dobbiamo sostituire
al primo membro, quindi perveniamo al sistema
Analogamente per l'ultimo vettore di (1) che dà il sistema
Le soluzioni dei sistemi sopra danno ordinatamente le colonne della matrice cercata che quindi è:
Osservazione
Evidenziamo esplicitamente il fatto che ciascuno dei sistemi di cui sopra ha un'unica soluzione poiché la terna (a,b,c) delle incognite rappresenta le componenti di un vettore in una base che com'è noto sono uniche.
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