Esercizio
Dire se ciascuno dei seguenti sistemi ha soluzioni non nulle: 
Soluzione
Ricordiamo che un sistema omogeneo è sempre compatibile e ammette solo la soluzione nulla se il rango della matrice dei coefficienti è pari al numero delle incognite, mentre ammette soluzioni non nulle se detto rango è minore del numero delle incognite. Andiamo quindi a calcolare i ranghi delle matrici nei vari casi richiesti.
La matrice del sistema (1) è
Osserviamo che la terza riga si ottiene sommando alla seconda il doppio della prima, quindi 
quindi 
. Concludiamo che il sistema (1) ha soluzioni non nulle.
Osserviamo che la terza riga si ottiene sommando alla seconda il doppio della prima, quindi quindi . Concludiamo che il sistema (1) ha soluzioni non nulle. La matrice del sistema (2) è
Calcoliamone il determinante considerando la matrice 
quindi 
per cui il sistema (2) ammette un'unica soluzione che è necssariamente quella nulla.
Calcoliamone il determinante considerando la matrice quindi per cui il sistema (2) ammette un'unica soluzione che è necssariamente quella nulla. La matrice del sistema (3) è
Ricordando che il rango di una matrice è al massimo pari al minimo tra il numero di righe e il numero delle colonne, si ha che nel nostro caso 
, quindi il sistema (3) ha certamente soluzioni non nulle.
Ricordando che il rango di una matrice è al massimo pari al minimo tra il numero di righe e il numero delle colonne, si ha che nel nostro caso , quindi il sistema (3) ha certamente soluzioni non nulle. 
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