Esercizio
Sia dato lo spazio vettoriale 
ed i vettori 
Trovare per quali valori di 
, 
è linearmente dipendente da 
e 
.
ed i vettori Trovare per quali valori di , è linearmente dipendente da e . Soluzione
Ricordiamo che per stabilire se un insieme di vettori sono linearmente dipendenti, basta provare che il rango della matrice avente righe (o colonne) costituite dai vettori in questione non ha rango massimo. Il numero di vettori che dipendono lineamente dagli altri è dato dal numero di vettori meno il rango della matrice. Detto ciò imponiamo che
che equivale a dire 
. Allora 
Per 
otteniamo la matrice 
Notiamo che in questo caso 
e 
sono linearmente dipendenti e in particolare dire che 
dipende linearmente da 
e 
significa dire che 
è proporzionale ad 
, cosa evidentemente falsa. Pertanto il valore 
è da scartare.Per
abbiamo 
Per verificare la dipendenza richiesta, dobbiamo controllare che esistano due numeri reali 
e 
tali che 
da cui il sistema 
di cui ci basta verificare solo la compatibilità, e quindi nel nostro caso che sia 
che si può facilmente verificare essere vera.
Concludiamo che l'unico valore ammissibile è
.
Concludiamo che l'unico valore ammissibile è
. Osservazione. Alla stessa conclusione si poteva giungere notando che 
si ha 
da cui 
e 
linearmente indipendenti e quindi necessariamente 
dipende linearmente da 
e 
.
si ha da cui e linearmente indipendenti e quindi necessariamente dipende linearmente da e . 
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