ESE_SV-Rappresentazione Sottospazio_1

Esercizio

In siano dati i vettori Determinare le equazioni parametriche e cartesiane di
(a)
(b)
(c)

Soluzione

(a) I vettori di sono del tipo generati da quindi sono del tipoPertanto le equazioni parametriche sono

Per ottenere le equazioni cartesiane , il generico vettore appartiene ad se e solo se è dipende linearmente da cioè

Riduciamo a scalini la precedente matrice

Ricordando che nella riduzione a scalini una riga linearmente dipendente diventa nulla, dobbiamo avere che la seconda riga deve essere nulla e quindi (b) Per gli stessi argomenti del punto (a), abbiamo che i vettori di devono essere del tipoQuindi costruiamo la matrice che dovrà avere rango . Riduciamo a scalini effettuando l'operazione

e le equazioni cartesiane di sono ottenute azzerando i termini della seconda riga(c) Ragionando come nei casi precedenti, abbiamo che un vettore di dev'essere combinazione lineare dei vettori e , quindi

e quindi Per ottenre le equazioni cartesiane, costruendo la matrice dove le prime due righe sono i vettori di una base di e il generico vettore , si deve avere Quindi riduciamo a scalini

e quindi ovvero

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