Di seguito riportiamo alcune proprietà delle applicazioni lineari.
Siano
uno spazio vettoriale e 
una sua base. - ( 1 ) Sia
un omomorfismo, allora
è un sistema di generatori per 
- ( 2 ) Se
sono 
vettori qualsiasi di 
allora esiste un unico omomorfismo 
: 
tale che 
e 
si ha 
. Osservazione 6.5.1
Dalla (2) segue che per assegnare univocamente un omomorfismo, basta dare le immagini dei vettori di una base di 
- ( 3 ) Se
è uno spazio vettoriale di dimensione 
se 
è un insieme di vettori di 
linearmente indipendenti con 
allora esistono infinte applicazioni 
: 
tali che, scelti 
, si ha 
Tale applicazione non è univocamente determinata.
Esempio 6.5.2
Siano 
e 
. Consideriamo il sistema 
di 
linearmente indipendente. Vogliamo capire se esiste un'applicazione lineare 
tale che:
e . Consideriamo il sistema di linearmente indipendente. Vogliamo capire se esiste un'applicazione lineare tale che:  | (6.1) |
Se completiamo 
ad una base di 
e scegliamo due vettori di 
allora esiste un'unica applicazione che soddisfa le nostre richieste.
ad una base di e scegliamo due vettori di allora esiste un'unica applicazione che soddisfa le nostre richieste. Siano
(
), (
)
(
), (
) 
R
,
per la
esiste un'unica f: R
R
tale che valgono le (5*) e f(
)=(
) e f(
)=(
)
(
), ()(), () R, per la
esiste un'unica f: RR tale che valgono le (5*) e f()=() e f()=() Poich� il completamento di 
non è unico e la scelta di altri due vettori 
non è unica, allora esistono infinite applicazioni che soddisfano (1.2).
non è unico e la scelta di altri due vettori non è unica, allora esistono infinite applicazioni che soddisfano (1.2). - ( 4 ) Siano
sono vettori linearmente dipendenti di 
e siano 
scalari non tutti nulli per cui 
. Scelti 
vettori arbitrari di 
, allora esiste un'applicazione di 
in 
tale che 
se e solo se vale 
.
Esempio 6.5.3 
=
=
=
. 
.
Siano 
, 
, 
. Vogliamo vedere se esiste un'applicazione lineare 
: 
tale che
, , . Vogliamo vedere se esiste un'applicazione lineare : tale che === Osserviamo che 
sono linearmente dipendenti. Infatti 
Allora, affinch� esista un'applicazione lineare 
come richiesta, deve essere
sono linearmente dipendenti. Infatti Allora, affinch� esista un'applicazione lineare come richiesta, deve essere . Vediamo se è vero. Calcoliamo l'ultimo membro:
. Segue che non esiste alcuna applicazione lineare che assegni ad 
le immagini scelte.
le immagini scelte. Esempio 6.5.4 
tale che 
. 
.
Siano 
i vettori dell'esempio precedente. Vogliamo verificare se esiste un'applicazione lineare
i vettori dell'esempio precedente. Vogliamo verificare se esiste un'applicazione lineare tale che . Con discorso analogo a quanto fatto nell'esempio precedente, l'applicazione richiesta esiste se e solo se
. Poich� 
allora 
esiste. Tuttavia, poich� 
non è definita su una base di 
essa non è univocamente determinata. Completiamo 
a una base di 
aggiungendo per esempio 
Scegliamo un vettore di 
per esempio 
e poniamo 
Allora la 
così costruita soddisfa le richieste. L'arbitrarietà della scelta del completamento e dei vettori immagine giustifica la non unicità di 
allora esiste. Tuttavia, poich� non è definita su una base di essa non è univocamente determinata. Completiamo a una base di aggiungendo per esempio Scegliamo un vettore di per esempio e poniamo Allora la così costruita soddisfa le richieste. L'arbitrarietà della scelta del completamento e dei vettori immagine giustifica la non unicità di 
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