Teorema Dimensione

Teorema 6.3.1

(della Dimensione) Siano V uno spazio vettoriale di dimensione finita e un'applicazione lineare. Allora

 

Dim.

Supponiamo che e Sia una base di

Esistono vettori in linearmente indipendenti tali che è una base di

Per completare la dimostrazione basta provare che è una base di Seguirà allora che cioè la tesi.

Per dimostrare che è base di dobbiamo provare che 

1) è un sistema di generatori

2) è un insieme di vettori linearmente indipendenti.

Proviamo la 1).

Se è un vettore dell'immagine, allora esiste in Poichè è base di , esistono : . Allora si ha:

Per ipotesi, appartengono al nucleo di e quindi , da cui segue che

Proviamo la 2).

Consideriamo una combinazione lineare nulla di elementi di :

(6.1)

 Per la linearità della possiamo scrivere

Da qui segue che il vettore appartiene a e quindi, essendo una base del nucleo, esistono tali che , cioè

Quest'ultima è una combinazione lineare nulla di vettori di una base di per cui tutti gli scalari devono essere nulli. In particolare e dalla (1.1) si deduce che sono linearmente indipendenti il che completa la dimostrazione.