Siano
e 
due spazi vettoriali sullo stesso campo 
di dimensioni, rispettivamente, 
e 
. Consideriamo l'applicazione lineare 
. Siano 
una base di 
e 
una base di 
Sia
per opportuni 
Poich�
per opportuni 
. Determiniamo la relazione che intercorre tra le componenti di
rispetto a 
e le componenti di 
rispetto a 
Da
segue per la linearità della 
che:
Osserviamo che
quindi devono essere generati da 
, ovvero 
danno 
+
da cui si ricava che: 
e quindi
è la matrice la cui j-esima colonna è costituita dalle componenti di 
rispetto a 
Osserviamo che se
e 
sono le basi canoniche rispettivamente di 
e 
, allora 
e 
e quindi 
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