sabato 5 marzo 2011

Prodotto Scalare

Definizione 5.1.1
Sia $V$ uno spazio vettoriale reale. Un'applicazione MATH si dice prodotto scalare se gode delle seguenti proprietà: $\forall $ $u, $ $v,$ $w\in V,$ $\forall $ $\lambda \in R,$
  • MATH (linearità a sinistra)
  • MATH (omogenità)
  • $u\cdot v=v\cdot u$ (simmetria)
  • MATHe MATH (positività).
Osservazione 5.1.2
Dalla simmetria si ricava la linearità a destra, cioè:
MATH
Inoltre è facile verificare che:
MATH
MATH.
Esempio 5.1.3
Diamo alcuni esempi di prodotti scalari:
  • Prodotto scalare ordinario o canonico
    MATH
    MATH dove MATH MATH
  • $\cdot :$ MATH
    MATH dove $u=(u_{1},u_{2}),$ $v=(v_{1},v_{2}).$
  • Sia V lo spazio delle funzioni continue su $[a,b]$
    MATH con $a<b.$
    Ricordando il concetto di integrale definito, poniamo:
    MATH
    MATH
Il prodotto scalare gode di numerose applicazioni in vari campi delle scienze.
Definizione 5.1.4
Sia $V$ uno spazio vettoriale su $R.$ Se $V$ è dotato di un prodotto scalare si dice spazio euclideo reale.

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