Definizione 5.1.1
Sia uno spazio vettoriale reale. Un'applicazione si dice prodotto scalare se gode delle seguenti proprietà:
- (linearità a sinistra)
- (omogenità)
- (simmetria)
- e (positività).
Osservazione 5.1.2
Dalla simmetria si ricava la linearità a destra, cioè:
Inoltre è facile verificare che:
.
Esempio 5.1.3
Il prodotto scalare gode di numerose applicazioni in vari campi delle scienze. Diamo alcuni esempi di prodotti scalari:
- Prodotto scalare ordinario o canonico
dove
-
dove
- Sia V lo spazio delle funzioni continue su
con
Ricordando il concetto di integrale definito, poniamo:
Definizione 5.1.4
Sia uno spazio vettoriale su Se è dotato di un prodotto scalare si dice spazio euclideo reale.
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